• Главная
• Справочник
• Площади и объемы
• Единицы измерений
• Векторы

Для вычисления площади произвольного треугольника $ABC$ используются следующие формулы:

Для вычисления площади произвольного треугольника ABC используются следующие формулы:

1. Полупроизведение стороны на высоту, опущенную на эту сторон:

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a}$

2. Полупроизведение сторон на угол между ними:

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin \beta$

3. Формула Герона:

$S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

4. Через радиус описанной окружности:

$S_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R}$

где R — радиус описанной окружности.

5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:

$S_{\Delta ABC} = p r$

где r — радиус вписанной окружности, а $p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Векторы

Длина вектора$\overrightarrow{a}(x;y)$

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}(x_1;y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2;y_2)$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\alpha$,
где $\alpha$ - угол между векторами

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$

Угол между векторами$\overrightarrow{a}(x_1;y_1)$ и $\overrightarrow{b}(x_2;y_2)$

$\cos\alpha=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}$

$\cos\alpha=\displaystyle\frac{x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$