Векторы
Для вычисления площади произвольного треугольника \(ABC\) используются следующие формулы:
Для вычисления площади произвольного треугольника ABC используются следующие формулы:
1. Полупроизведение стороны на высоту, опущенную на эту сторон:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_{a} \]
2. Полупроизведение сторон на угол между ними:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin \beta \]
3. Формула Герона:
\[ S_{\Delta ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
где \(p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.
4. Через радиус описанной окружности:
\[ S_{\Delta ABC} = \frac{abc}{4R} \]
где R — радиус описанной окружности.
5. Через радиус вписанной окружности и полупериметр:
\[ S_{\Delta ABC} = p r \]
где r — радиус вписанной окружности, а \(p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.
Векторы
Длина вектора\(\overrightarrow{a}(x;y)\)
\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}(x_1;y_1)\) и \(\overrightarrow{b}(x_2;y_2)\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\alpha\),
где \(\alpha\) - угол между векторами
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)
Угол между векторами\(\overrightarrow{a}(x_1;y_1)\) и \(\overrightarrow{b}(x_2;y_2)\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{x_1\cdot y_1+x_2\cdot y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)