Химия

Из определения периода полураспада ($\tau_{1/2}$) количество нераспавшихся изотопов через время $t$ будет определяться по формуле

$\frac{N_{ост} }{N_{исх} } = \left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{ \tau_{1/2} } }$

Видно, что за 32 часа останется всего лишь

$\frac{N_{ост} }{N_{исх} } = \left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{1}{2} } \approx 0,71$

от исходного количества изотопов, что уже меньше, чем требуется по условию. Чтобы рассчитать время, за которое распадётся 1/4 (а останется 3/4) изотопов, придётся провести дополнительные преобразования:

$t = \tau_{1/2} \frac{ln \frac{N_{исх} }{N_{ост} } }{ln 2} = 64 ч \frac{ln \frac{4}{3} }{ln2} = 26,6 ч$

Для ответа на вторую часть задачи потребуется переформулировать понятие периода полураспада. Для отдельных частиц его можно рассматривать как время, за которое каждый отдельный изотоп распадается с вероятностью 1/2.

Т.е. вероятность выжить через 2 периода полураспада (128 часов) для каждого отдельного изотопа составляет 1/4. Чтобы определить вероятность сохранения всех 4 изотопов, нужно перемножить вероятности не распасться для каждого из них, т.е. суммарная вероятность составит $(1/4)^{4} = 0,39$%.

В случае распада ровно двух изотопов потребуется рассмотреть все варианты.

Пронумеруем частицы цифрами от 1 до 4. Условию соответствуют следующие варианты:

распались 1 и 2, остались 3 и 4;
распались 1 и 3, остались 2 и 4;
распались 1 и 4, остались 2 и 3;
распались 2 и 3, остались 1 и 4;
распались 2 и 4, остались 1 и 3;
распались 3 и 4, остались 1 и 2.

Вероятность всех этих 6 вариантов будет одинаковой и равной произведению вероятности для 2 изотопов распасться (3/4 для каждого), а для 2 сохраниться (1/4 для каждого). Т.е. суммарная вероятность составит $6 \left ( \frac{3}{4} \right )^{2} \left ( \frac{1}{4} \right )^{2} = 21,1$%