Тригонометрия

8 класс

Вычислить $\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\operatorname{tg} \alpha =7$ .

Проще всего вычислить котангенс:

$\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}$

Теперь мы воспользуемся формулой для тангенса и составим систему уравнений с двумя неизвестными. Эти неизвестные, конечно, будут искать $\sin \alpha \text{ и }\cos \alpha$ .

$\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}$ Z pierwszego równania możemy wyliczyć np.

$\sin \alpha$ :

$\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}$

Теперь мы можем заменить синус на тригонометрическую единицу. В результате мы получим уравнение с одним неизвестным ( $\cos \alpha$ ):

$\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}$

Теперь мы вычислим синус, используя ранее обозначенную формулу:

$\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$

8 класс Геометрия Простая

Продолжить чтение

Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Ещё по теме

Вывести значения тригонометрических функций для угла $\alpha$ выделенного на рисунке.

8 класс Геометрия Простая

Вычислить значения тригонометрических функций для угла $\alpha$ выделенного на рисунке.

8 класс Геометрия Простая

Вычислить $\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\sin \alpha =\frac{2}{5}$ .

8 класс Геометрия Простая

Вывести значения всех тригонометрических функций для выбранного угла $\alpha$ .

8 класс Геометрия Простая

Вычислить $\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ .

8 класс Геометрия Простая

Вычислить $\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha$ если известно, что $\operatorname{tg} \alpha =7$ .

8 класс Геометрия Простая

Вывести значения всех тригонометрических функций для выбранного угла $\beta$ .

8 класс Геометрия Простая