Тригонометрия
8 класс
Вопрос
Вычислить \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha \) если известно, что \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\).
Ответ
Мы используем тригонометрические формулы:
\[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Теперь мы вычисляем тангенс: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Теперь мы вычисляем котангенс: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\]
