Сложение и вычитание векторов

Векторы: \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \), \( \vec{u_1} \), \( \vec{u_2},\;\ldots\; \)
Нулевой вектор: \( \vec{0} \)
Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \)

Определение 1 Если точка \( A \) начала какого-либо вектора \( \overrightarrow{a} \), то говорят, что вектор \( \overrightarrow{a} \) отложен от точки \( A \) (рис. 1).

сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника

Теорема 1 От любой точки \( K \) можно отложить вектор единственный \( \overrightarrow{a} \).

Существование: Имеем два следующих случая:

  1. Вектор \( \overrightarrow{a} \) - нулевой.

    Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором \( \overrightarrow{KK} \).

  2. Вектор \( \overrightarrow{a} \) не является нулевым.

    Пусть точка \( A \) является началом вектора \( \overrightarrow{a} \), а точкой \( B \) - конец вектора \( \overrightarrow{a} \). Проведем через точку \( K \) прямую \( b \) параллельную вектору \( \overrightarrow{a} \). Будем откладывать на прямой отрезки \( \left|KL\right|=|AB| \) и \( \left|KM\right|=|AB| \). Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{KL} \) и \( \overrightarrow{KM} \). Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором \( \overrightarrow{a} \) (рис.2)

Рисунок 2.

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Суммой двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется третий вектор \( \vec{c} \), проведенный из начала \( \vec{a} \) к концу \( \vec{b} \), если начало вектора \( \vec{b} \) совпадает с концом вектора \( \vec{a} \).

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

\( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \)

сложение векторов по правилу параллелограмма или треугольника

Суммой нескольких векторов \( \vec{a_1} \),\( \vec{a_2} \), \( \vec{a_3},\;\ldots \) называется вектор \( \vec{c} \), получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

\( \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \ldots + \vec{a_n} \)

сумма нескольких векторов

Коммутативный закон сложения
\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)

Ассоциативный закон сложения
\( \left( {\vec{a} + \vec{b}} \right) + \vec{c} = \vec{a} + \left( {\vec{b} + \vec{c}} \right) \)

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
\( \vec{a} + \vec{b} = \left( {{X_1} + {X_2},{Y_1} + {Y_2},{Z_1} + {Z_2}} \right) \)

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

  1. Для произвольного вектора \( \overrightarrow{a} \) выполняется равенство

    \[ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} \]

  2. Для произвольных точек \( A,\ B\ и\ C \) справедливо следующее равенство

    \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

сумма нескольких векторов

Разность векторов. Вычитание векторов

Разностью двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) называется вектор \( \vec{c} \) при условии:
\( \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \), если \( \vec{c} + \vec{b} = \vec{a} \)

Разность векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равна сумме вектора \( \vec{a} \) и противоположного вектора \( -\vec{b} \):
\( \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + \left( -\vec{b} \right) \)

вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
\( \vec{a} - \vec{a} = \vec{0} \)

Длина нулевого вектора равна нулю:
\( \left| \vec{0} \right| = 0 \)

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
\( \vec{a} - \vec{b} = \left( {{X_1} - {X_2},{Y_1} - {Y_2},{Z_1} - {Z_2}} \right) \)

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор \( \overrightarrow{a\ } \) и действительное число \( k \).

Определение Произведением вектора \( \overrightarrow{a\ } \) на действительное число \( k \) называется вектор \( \overrightarrow{b\ } \) удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Длина вектора \( \overrightarrow{b\ } \) равна \( \left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }| \);

  2. Векторы \( \overrightarrow{a\ } \) и \( \overrightarrow{b\ } \) сонаправлены, при \( k\ge 0 \) и противоположно направлены, если \( k\le 0 \)

Обозначение: \( \ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ } \).

Пример 1

Задача

Пусть даны векторы \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \). Построить вектор \( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \).

Решение

Построим произвольную точку \( O \) и отложим от нее векторы \( \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} \). Соединив точку \( B \) с точкой \( A \), получим вектор \( \overrightarrow{BA} \).

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[ \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA} \]

То есть

\[ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a} \]

Из определения 2, получаем, что

\[ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA} \]

Ответ

\( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA} \).

Пример 2

Задача

Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Доказать, что \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1} \)

Решение

Воспользуемся свойством правила треугольника \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \), получим:

\[ \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC_1} \]

Так как \( \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1} \)

То есть

\[ \overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1} \]

ч. т. д.

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: