Треугольник Паскаля

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

Треугольник Паскаля
01
11     1
21     2     1
31     3     3     1
41     4     6     4     1
51     5     10     10     5     1
61     6     15     20     15     6     1

Треугольник Паскаля можно получить из таблицы натуральных степеней бинома x + y

Натуральные степени бинома x + y

СтепеньРазложение в сумму одночленов
0(x + y)0 =1
1(x + y)1 =1x + 1y
2(x + y)2 =1x2 + 2xy + 1y2
3(x + y)3 =1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
4(x + y)4 =1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
5(x + y)5 =1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
6(x + y)6 =1x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6

Рассчитать Треугольник паскаля

Количество строк (n)
 

Свойства треугольника Паскаля

Теория
  • Сумма чисел n-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2n. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1.
  • Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.
  • Каждое число в треугольнике Паскаля равно Cnk, где n - номер строки, k - номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
  • Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.
  • Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.
  • Если посчитать для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, то получится соответствующее число Фибоначчи.

Определения

Теория
  • Треугольными числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде равностороннего треугольника.

  • Тетраэдрическими числами называется количество шаров, которые можно выложить в виде правильного тетраэдра.

  • Последовательность f1 = f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2 при n>2 называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи.

Написать разложение вида: (x + y)7

Пример

Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:

61     6     15     20     15     6     1
71     7     21     35     35     21     7     1

 

Следовательно, (x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y2 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: