Формула площади ромба

Что такое Ромб? Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

РОМБ, фигура на плоскости, четырехугольник с равными сторонами. Ромб - частный случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, у которого или две смежные стороны равны, или диагонали пересекаются под прямым углом, или диагональ делит угол пополам. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

1. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне :

\[ S = a \cdot h \]

2. Если известна сторона ромба (у ромба все стороны равны) и угол между сторонами, то площадь можно найти по следующей формуле:

\[ S = a^{2} \cdot sin(\alpha) \]

3. Площадь ромба также равна полупроизведению диагоналей, то есть:

\[ S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \]

4. Если известен радиус r окружности, вписанной в ромб , и сторона ромба a, то его площадь вычисляется по формуле:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Свойства ромба

На рисунке выше \( ABCD \) - ромб, \( AC = DB = CD = AD \) . Так как ромб - это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

\[ r = \frac{ AH }{2} \]

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны;

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Пример 1

Задача

Дан ромб с диагоналями \(d1=5\) см и \(d2=4\). Найти площадь ромба.

Решение

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.

\( S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \)

\( S = \dfrac{5 \cdot 4 }{2} = 10 \text{см}^2 \)

Ответ

10 см2.

Пример 2

Задача

Дан ромб, диагонали которого равны \(d1=4\) см, \(d2=6\) см. Острый угол равен \(α = 30°\). Найдите площадь фигуры через сторону и угол.

Решение

Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно:

\( a = \sqrt{\left( \dfrac{d_1}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{d_2}{2} \right)^2 }\)

Подставим значения:

\( a= \sqrt{\left( \dfrac{4}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{6}{2} \right)^2 } = \sqrt{2^2 + 3^2 } =\sqrt{4+9} =\sqrt{13} = 3.6 \)

Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:

\(S={3,6}^2*\dfrac{1}{2}=\dfrac{13}{2}=6,5\)

Ответ

\(S=6,5 \text{см}^2\)

Пример 3

Задача

Площадь ромба равна \( 10.8 \) см2, а площадь круга, вписанного в этот ромб — \( 2.25\pi \) см2.

1. Определите длину радиуса круга, вписанного в ромб (в см).

2. Вычислить длину стороны ромба (в см).

Решение

1. Площадь круга вычисляется по формуле \( S=\pi r^2, \) значит \( r=\sqrt{\dfrac{2.25\pi}{\pi}}=1.5 \) см.

2. Площадь ромба, в который вписана окружность, можно вычислить по формуле \( S=a\cdot 2r, \) значит \( a=\dfrac{10.8}{2\cdot1.5}=3.6 \) см.

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: