Формула площади элипса
Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна.
Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c.
Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса.
У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами.
Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через a, малая полуось − через b.
На рисунке изображен эллипс
у него:
\( F_{1}, F_{2} \) — фокусы
\( F_{1} = (c, 0); F_{2} = (- c ; 0) \) — фокусы
c — половина расстояния между фокусами
a — большая полуось
b — малая полуось
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число π (3.1415).
Площадь эллипса с полуосями a (большая) и b (малая) равна их произведению на число π, то есть:
\( \LARGE S = \pi \cdot a \cdot b \)
Свойства элипса
Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:
\[ \boxed { \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 } \]
Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
\[ r_{1} + r_{2} = 2 \cdot a \]
где:
r1, r2 − расстояния от произвольной точки P(x,y) до фокусов F1 и F2,
a − большая полуось эллипса.
Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
\[ a^{2} = b^{2} + c^{2} \]
где:
a − большая полуось эллипса,
b − малая полуось,
c − половина фокусного расстояния.
Эксцентриситет эллипса
\[ e = \frac{c}{a} < 1 \]
Уравнения директрис эллипса
Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии ae от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде :
\[ x = ± \frac{a}{e} = ± \frac{a^{2}}{c} \]
Уравнение эллипса в параметрической форме
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = a \cdot cos (t) \\ y = b \cdot sin (t) \\ \end{array} \right. \, 0 \leq t \geq 2 \pi \]
где a, b − полуоси эллипса, t − параметр.
Общее уравнение эллипса
\[ A x^2 + B x y + C y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]
где:
B2 - 4 × AC < 0