Формула периметра круга
Определение круга часто звучит, как часть плоскости, которая ограничена окружностью. Окружность круга является плоской замкнутой кривой. Все точки, расположенные на кривой, удалены от центра круга на одинаковое расстояние. В круге его длина и периметр одинаковы. Соотношение длины любой окружности и ее диаметра постоянное и обозначается числом π = 3,1415.
Определение периметра круга
Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число π(~3.1415)
Формула периметра круга
Периметр круга радиуса \(r\) :
\[ \LARGE{P} = 2 \cdot \pi \cdot r \]
или\[ \LARGE{P} = \pi \cdot d \]
где
\( P \) — периметр (длина окружности).
\( r \) — радиус.
\( d \) — диаметр.
Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.
Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.
Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки.
В декартовой системе координат \( xOy \) мы также можем ввести уравнение любой окружности. Обозначим центр окружности точкой \( X \) , которая будет иметь координаты \( (x_0,y_0) \) . Пусть радиус этой окружности равняется \( τ \) . Возьмем произвольную точку \( Y \) , координаты которой обозначим через \( (x,y) \) (рис. 2).
По формуле расстояния между двумя точками в заданной нами системе координат, получим:
\( |XY|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \)
С другой стороны, \( |XY| \) - это расстояние от любой точки окружности до выбранного нами центра. То есть, по определению 3, получим, что \( |XY|=τ \) , следовательно
\( \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=τ \)
\( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)
Таким образом, мы и получаем, что уравнение (1) является уравнением окружности в декартовой системе координат.
Длина окружности (периметр круга)
Будем выводить длину произвольной окружности \( C \) с помощью её радиуса, равного \( τ \) .
Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через \( C \) и \( C' \) , у которых радиусы равняются \( τ \) и \( τ' \) . Будем вписывать в эти окружности правильные \( n \) -угольники, периметры которых равняются \( ρ \) и \( ρ' \) , длины сторон которых равняются \( α \) и \( α' \) , соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного \( n \) — угольника равняется
\( α=2τsin\frac{180^0}{n} \)
Тогда, будем получать, что
\( ρ=nα=2nτ\frac{sin180^0}{n} \)
\( ρ'=nα'=2nτ'\frac{sin180^0}{n} \)
Значит
\( \frac{ρ}{ρ'}=\frac{2nτsin\frac{180^0}{n}}{2nτ'\frac{sin180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ'} \)
Получаем, что отношение \( \frac{ρ}{ρ'}=\frac{2τ}{2τ'} \) будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть
\( \lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ'})=\frac{2τ}{2τ'} \)
С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть \( n→∞ \) ), будем получать равенство:
\( lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ'})=\frac{C}{C'} \)
Из последних двух равенств получим, что
\( \frac{C}{C'}=\frac{2τ}{2τ'} \)
То есть
\( \frac{C}{2τ}=\frac{C'}{2τ'} \)
Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть
\( \frac{C}{2τ}=const \)
Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать \( π \) . Приближенно, это число будет равняться \( 3,14 \) (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом
\( \frac{C}{2τ}=π \)
Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой
\( C=2πτ \)