Семейства множеств

Пусть [cbm]U[/cbm] — универсальное множество. Если каждому натуральному числу [cbm]n[/cbm] взаимно однозначно сопоставлено некоторое подмножество [cbm]A_n \subseteq U[/cbm] , то тем самым определена последовательность множеств [cbm]A_1,\ldots,A_n,\ldots[/cbm] , или, в короткой записи, [cbm](A_n)_{n\in\mathbb{N}}[/cbm] . Предположим теперь, что вместо множества [cbm]N[/cbm] натуральных чисел задано произвольное множество [cbm]I[/cbm] и каждому элементу [cbm]i\in I[/cbm] взаимно однозначно сопоставлено подмножество [cbm]A_i \subseteq U[/cbm] . Тогда говорят, что задано (индексированное) семейство множеств [cbm](A_i)_{i\in I}[/cbm] . Множество J называют множеством индексов, а множества [cbm]A_i[/cbm] — элементами семейства [cbm](A_i)_{i\in I}[/cbm] .

В случае [cbm]I\in\mathbb{N}[/cbm] получаем последовательность множеств, или счетное семейство множеств; если множество [cbm]I[/cbm] конечно, получаем конечное семейство множеств. Таким образом, семейство [cbm](A_i)_{i\in I}[/cbm] определено, если задано отображение [cbm]\nu\colon I\to2^U[/cbm] .

Отметим, что любое множество, элементы которого есть некоторые подмножества универсального множества [cbm]U[/cbm] , т.е. любое множество [cbm]A \subseteq 2^U[/cbm] , можно считать семейством [cbm](A_i)_{i\in I}[/cbm] , где [cbm]I=A[/cbm] , a [cbm]\nu[/cbm] — тождественное отображение множества [cbm]A[/cbm] на себя.


Семейства множеств

Пример 1.11. Рассмотрим в качестве множества индексов множество точек некоторой гладкой плоской кривой (рис. 1.6) и каждой точке сопоставим касательную, проведенную к кривой в этой точке (которая будет единственной в силу гладкости). Тогда получаем семейство множеств, элементами которого служат множества точек различных касательных.

Операции объединения и пересечения множеств можно распространить на произвольные семейства множеств.

1. Объединение семейства множеств:

[cbm]\bigcup\limits_{i\in I}A_i= \bigl\{x\colon\, (\exists i)(x\in A_i)\bigr\}.[/cbm]

2. Пересечение семейства множеств:

[cbm]\bigcap\limits_{i\in I}A_i= \bigl\{x\colon\, (\forall i)(x\in A_i)\bigr\}.[/cbm]

Методом двух включений можно доказать следующие тождества:

[cbm]A\cup \Bigl(\;\bigcup\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcup\limits_{i\in I}(A\cup B_i),\qquad A\cap \Bigl(\;\bigcap\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcap\limits_{i\in I}(A\cap B_i).[/cbm]

Аналогично можно доказать тождества

[cbm]A\cap \Bigl(\;\bigcup\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcup\limits_{i\in I}(A\cap B_i),\qquad A\cup \Bigl(\;\bigcap\limits_{i\in I}B_i\;\Bigr)= \bigcap\limits_{i\in I}(A\cup B_i),[/cbm]
(1.5)
[cbm]\overline{\bigcup\limits_{i\in I}A_i}= \bigcap\limits_{i\in I}\overline{A}_i,\qquad \overline{\bigcap\limits_{i\in I}A_i}= \bigcup\limits_{i\in I}\overline{A}_i[/cbm]
(1.6)

Тождества (1.5) выражают свойство бесконечной дистрибутивности операций пересечения и объединения, а тождества (1.6) называют бесконечными законами де Моргана.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: