Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме

Теореме 7.18 об обратимости системы импликаций можно придать следующий предикатный вид.

Теорема 24.20. Пусть справедливы все следующие прямые теоремы [cbm](m \geqslant 2)\colon[/cbm]

[cbm](\forall x)\bigl(P_1(x)\to Q_1(x)\bigr),\quad (\forall x)\bigl(P_2(x)\to Q_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(P_m(x)\to Q_m(x)\bigr).[/cbm]

Причем для посылок известно, что истинно утверждение [cbm](\forall x)\bigl(P_1(x)\lor P_2(x)\lor \ldots\lor P_m(x)\bigr)[/cbm] , а следствия попарно исключают друг друга, т.е. истинны все высказывания

[cbm]\lnot (\exists x)\bigl(Q_i(x)\land Q_j(x)\bigr)\quad (i,j=1,2,\ldots,m,~ i\ne j).[/cbm]

Тогда справедливы и все обратные импликации:

[cbm](\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P_1(x)\bigr),\quad (\forall x)\bigl(Q_2(x)\to P_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(Q_m(x)\to P_m(x)\bigr).[/cbm]

(Предполагается, конечно, что все предикаты заданы над одним и тем же множеством [cbm]M[/cbm] .)

Доказательство. Покажем сначала, что истинна первая обратная импликация: [cbm](\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P_1(x)\bigr)[/cbm] . Пусть [cbm]a\in M[/cbm] . Если высказывание [cbm]Q_1(a)[/cbm] ложно, то импликация [cbm]Q_1(a)\to P_1(a)[/cbm] истинна. Предположим, что высказывание [cbm]Q_1(a)[/cbm] истинно. Покажем, что тогда все высказывания [cbm]P_2(a),\ldots,P_m(a)[/cbm] ложны. Допустим противное: например, пусть [cbm]P_2(a)[/cbm] истинно. В силу истинности (по условию) универсального высказывания [cbm](\forall x)(P_2(x)\to Q_2(x))[/cbm] будет истинна и импликация [cbm]P_2(a)\to Q_2(a)[/cbm] , что вместе с истинностью ее посылки [cbm]P_2(a)[/cbm] приводит к истинности следствия [cbm]Q_2(a)[/cbm] . Итак, высказывания [cbm]Q_1(a)[/cbm] и [cbm]Q_2(a)[/cbm] истинны. Значит, истинна конъюнкция [cbm]Q_1(a)\land Q_2(a)[/cbm] , а вместе с ней истинно экзистенциальное высказывание [cbm](\exists x)(Q_1(x)\land Q_2(x))[/cbm] , что противоречит условию, согласно которому истинно отрицание этого высказывания. Таким образом, все высказывания [cbm]P_2(a),\ldots,P_m(a)[/cbm] ложны. Тогда высказывание [cbm]P_1(a)[/cbm] должно быть истинно, ибо если и оно будет ложным, то ложной будет и дизъюнкция [cbm]P_1(a)\lor\ldots\lor P_m(a)[/cbm] , a вместе с ней и универсальное высказывание [cbm](\forall x)(P_1(x)\lor\ldots\lor P_m(x))[/cbm] , что противоречит условию. Итак, высказывания [cbm]Q_1(a)[/cbm] и [cbm]P_1(a)[/cbm] истинны. Следовательно, истинна импликация [cbm]Q_1(a)\to P_1(a)[/cbm] .

Итак, мы доказали, что, каким бы ни был элемент [cbm]a\in M[/cbm] (превращающим предикат [cbm]Q_1(x)[/cbm] в ложное высказывание или превращающим его в истинное высказывание), импликация [cbm]Q_1(a)\to P_1(a)[/cbm] будет истинной. Следовательно, будет истинно и высказывание [cbm](\forall x)(Q_1(x)\to P_1(x))[/cbm] .

Совершенно аналогично устанавливается истинность и остальных обратных импликаций:

[cbm](\forall x)\bigl(Q_2(x)\to P_2(x)\bigr),\quad \ldots,\quad (\forall x)\bigl(Q_m(x)\to P_m(x)\bigr).[/cbm]

Частным видом рассмотренной теоремы об обратимости системы импликаций при [cbm]m=2[/cbm] является следующая теорема.


Теорема 24.21. Пусть справедливы следующие две прямые теоремы:

[cbm](\forall x)\bigl(P(x)\to Q_1(x)\bigr)[/cbm] и [cbm](\forall x)\bigl(\lnot P(x)\to Q_2(x)\bigr)[/cbm] .

причем следствия [cbm]Q_1(x)[/cbm] и [cbm]Q_2(x)[/cbm] взаимно исключают друг друга, т.е. истинно высказывание [cbm]\lnot (\exists x)(Q_1(x)\land Q_2(x))[/cbm] . Тогда справедливы обратные теоремы:

[cbm](\forall x)\bigl(Q_1(x)\to P(x)\bigr)[/cbm] и [cbm](\forall x)\bigl(Q_2(x)\to\lnot P(x)\bigr)[/cbm] .

Для того чтобы доказать, что данная теорема действительно является частным видом теоремы предыдущего пункта, заметим, что ее условие удовлетворяет требованиям условия предыдущей теоремы. Следствия здесь действительно исключают одно другое, а для посылок [cbm]P(x)[/cbm] и [cbm]\lnot P(x)[/cbm] ясно, что верно утверждение [cbm](\forall x)(P(x)\lor\lnot P(x))[/cbm] , чего и требует условие предыдущей теоремы.

Приведем пример двух теорем из геометрии, истинность обратных утверждений для которых может быть установлена с помощью рассмотренного частного случая теоремы об обратимости системы импликаций.


Пример 24.22. Рассмотрим теоремы:

1) "Если две плоскости параллельны, то всякая плоскость при пересечении с ними дает две прямые линии, которые также параллельны. Символически:

[cbm](\forall\rho_1,\rho_2) \bigl[\rho_1\parallel \rho_2\to (\forall\rho) (\rho_1\cap \rho \parallel \rho_2\cap \rho)\bigr];[/cbm]

2) "Если две плоскости не параллельны, то существует плоскость, которая при пересечении с ними дает две пересекающиеся прямые линии. Символически:

[cbm](\forall\rho_1,\rho_2) \bigl[\rho_1\nparallel \rho_2\to (\exists\rho) \bigl((\rho_1\cap \rho)\cap (\rho_2\cap \rho)\ne \varnothing\bigr)\bigr];[/cbm]

Ясно, что следствия этих утверждений

[cbm](\forall\rho) (\rho_1\cap \rho \parallel \rho_2\cap \rho)[/cbm] и [cbm](\exists\rho) \bigl((\rho_1\cap \rho)\cap (\rho_2\cap \rho)\ne \varnothing\bigr)[/cbm]

взаимно исключают друг друга. Тогда можно сделать вывод о справедливости двух обратных утверждений:

1') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей всякой третьей плоскостью получаются две параллельные прямые, то и сами данные плоскости также параллельны";

2') "Если при пересечении любых двух данных плоскостей некоторой третьей плоскостью получаются две пересекающиеся прямые, то и сами данные плоскости также пересекаются".

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: