Области целостности в теории колец

Областью целостности называют коммутативное кольцо без делителей нуля. Так, кольцо целых чисел есть область целостности.

Теорема 2.9. Конечная область целостности является полем.

Поле — это кольцо, умножение которого коммутативно, а каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент относительно умножения. Так как область целостности, по определению, является коммутативным кольцом, то достаточно доказать, что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим, т.е. для всякого [cbm]a\ne\bold{0}[/cbm] существует единственный [cbm]x[/cbm] , такой, что [cbm]a\cdot x=\bold{1}[/cbm] .

Фиксируем произвольный элемент [cbm]a\ne\bold{0}[/cbm] и определяем отображение [cbm]f_a[/cbm] множества всех ненулевых элементов в себя по формуле [cbm]f_a(x)=a\cdot x[/cbm] ( [cbm]a\cdot x\ne\bold{0}[/cbm] в области целостности при [cbm]a\ne\bold{0}[/cbm] и [cbm]x\ne\bold{0}[/cbm] ). Отображение [cbm]f_a[/cbm] является инъекцией, поскольку из равенства [cbm]a\cdot x=a\cdot y[/cbm] вытекает равенство [cbm]a\cdot(x-y)= \bold{0}[/cbm] , откуда ввиду отсутствия делителей нуля [cbm]x-y=\bold{0}[/cbm] и [cbm]x=y[/cbm] . Так как носитель по условию теоремы конечен, то, согласно теореме 1.8, [cbm]f_a[/cbm] также и биекция. Поэтому для любого [cbm]y[/cbm] существует единственный элемент [cbm]x[/cbm] , такой, что [cbm]y=a\cdot x[/cbm] . В частности, при [cbm]y=\bold{1}[/cbm] равенство [cbm]a\cdot x=\bold{1}[/cbm] выполнено для некоторого однозначно определенного [cbm]x[/cbm] , то есть [cbm]x=a^{-1}[/cbm] .


Доказательство теоремы 2.9 опирается на условие конечности кольца. Это условие действительно важно. Пример кольца целых чисел показывает, что бесконечная область целостности может и не быть полем.

Теорема 2.9 имеет интересные следствия. Рассмотрим кольцо [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] вычетов по модулю [cbm]p[/cbm] .

Следствие 2.2. Кольцо [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] вычетов по модулю [cbm]p[/cbm] является полем тогда и только тогда, когда [cbm]p[/cbm] — простое число.

Пусть [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] является полем. Покажем, что в этом случае число р простое. Предположим, что оно составное. Тогда найдутся такие числа [cbm]k[/cbm] и [cbm]l[/cbm] [cbm]0<k,~ l\leqslant p-1[/cbm] , что [cbm]p=k\cdot l[/cbm] . Поскольку в этом случае [cbm]k\cdot l=0\pmod{p}[/cbm] , по крайней мере числа [cbm]k[/cbm] и [cbm]l[/cbm] являются в кольце [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] делителями нуля и [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] — не поле. Следовательно, число [cbm]p[/cbm] не может быть составным.

Пусть [cbm]p[/cbm] — простое число. Предположим, что элементы [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] кольца [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] будут делителями нуля, т.е. [cbm]m\cdot n=0\pmod{p}[/cbm] . При простом [cbm]p[/cbm] равенство произведения [cbm]m\cdot n[/cbm] нулю по модулю [cbm]p[/cbm] означает, что либо [cbm]m[/cbm] делится на [cbm]p[/cbm] , либо [cbm]n[/cbm] делится на [cbm]p[/cbm] , т.е. либо [cbm]m=0\pmod{p}[/cbm] , либо [cbm]n=0\pmod{p}[/cbm] . Учитывая неравенства [cbm]0\leqslant m\leqslant p-1[/cbm] и [cbm]0 \leqslant n \leqslant p-1[/cbm] , заключаем, что либо [cbm]m=0[/cbm] , либо [cbm]n=0[/cbm] . Таким образом, при простом [cbm]p[/cbm] делителей нуля нет и кольцо [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] , как конечная область целостности, является полем.


Мультипликативная группа вычетов по модулю

Мультипликативную группу поля [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] вычетов по модулю [cbm]p[/cbm] обозначают [cbm]\mathbb{Z}_p^{\ast}[/cbm] и называют мультипликативной группой вычетов по модулю [cbm]p[/cbm] .

Для произвольного [cbm]p[/cbm] легко видеть, что ненулевые элементы [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] кольца [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] будут делителями нуля тогда и только тогда, когда произведение [cbm]m\cdot n[/cbm] делится на [cbm]p[/cbm] (т.е. [cbm]m\cdot n=0\pmod{p}[/cbm] ). Например, в кольце [cbm]\mathbb{Z}_{12}[/cbm] делителями нуля будут элементы 2 и 6, 3 и 4, 3 и 8, 4 и 6, 4 и 9, 6 и 6, 6 и 8, 6 и 10, 8 и 9.

[/b]Замечание 2.3.[/b] Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое число [cbm]p[/cbm] , для всякого ненулевого [cbm]m<p[/cbm] найдется единственное ненулевое [cbm]n<p[/cbm] , такое, что [cbm]mn=1\pmod{p}[/cbm] . Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля [cbm]\mathbb{Z}_p[/cbm] есть обратный элемент относительно умножения. Это — один из примеров применения общей алгебры к теории чисел.


Пример 2.14. В заключение приведем "таблицу сложения" (табл. 2.1) и "таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля [cbm]\mathbb{Z}_5[/cbm] .

[cbm]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{6}{r}{\mathit{Table~2.1}}\\\hline \oplus_5\!& 0&1&2&3&4\\\hline 0&0&1&2&3&4\\ 1&1&2&3&4&0\\ 2&2&3&4&0&1\\ 3&3&4&0&1&2\\ 4&4&0&1&2&3\\\hline \end{array}\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{6}{r}{\mathit{Table~2.2}}\\\hline \odot_5\!& 0&1&2&3&4\\\hline 0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&2&3&4\\ 2&0&2&4&1&3\\ 3&0&3&1&4&2\\ 4&0&4&3&2&1\\\hline \end{array}[/cbm]

Таблицы, подобные приведенным выше, которые определяют операции в конечных алгебрах, носят название таблиц Кэли. Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: [cbm]4=-1,~ 2=3^{-1},~ 4=4^{-1}[/cbm] и т.п. Но ни о каких "отрицательных" числах и ни о каких "дробях" тут речи нет, поскольку рассматриваются другие объекты — остатки при делении на 5. Просто равенство [cbm]4=-1[/cbm] означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вычетов по модулю 5: [cbm]4\oplus_{5}1=0[/cbm] . Аналогично по умножению — в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2 , так как [cbm]3\odot_{5}2=1[/cbm] , а элемент 4 обратен к себе самому.

Пример 2.15. Рассмотрим пример решения системы линейных алгебраических уравнений в поле [cbm]\mathbb{Z}_5[/cbm] . При записи уравнений будем опускать знак ©5 умножения там, где это не приводит к недоразумениям. Будем решать систему

[cbm]\left\{\begin{aligned}x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 2x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 4x_3 &=3,\\ 4x_1 \oplus_5 3x_2 \oplus_5 x_3 &=0, \end{aligned}\right.[/cbm]

используя метод Гаусса. Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим
[cbm](3 \oplus_5 2)x_1 \oplus_5 (3 \odor_5 2 \oplus_5 2)x_2 \oplus_5 (3 \odot_5 3 \oplus_5 4)x_3= 3 \oplus_5 3.[/cbm]

Воспользовавшись таблицами Кэли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем

[cbm]0 \odot_5 x_1 \oplus_5 3x_2 \oplus_5 3x_3=1.[/cbm]

Прибавив к третьей строке первую, получим
[cbm](1 \oplus_5 4)x_1 \oplus_5 (2 \oplus_5 3)x_2 \oplus_5 (3 \oplus_5 1)x_3=1,[/cbm] откуда [cbm]4x_3=1[/cbm] .
Система свелась к виду
[cbm]\left\{\begin{aligned}x_1 \oplus_5 2x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 3x_2 \oplus_5 3x_3 &=1,\\ 4x_3 &=1. \end{aligned}\right.[/cbm]

Из последнего уравнения находим [cbm]x_3= 4^{-1} \odot_5 1= 4 \odot_5 1=4[/cbm] . Подставив [cbm]x_3=4[/cbm] во второе уравнение, будем иметь

[cbm]3x_2 \oplus_5 3 \odot_5 4=1[/cbm] , то есть [cbm]3x_2=1 \oplus_5 (-2)=-1=4[/cbm] . Отсюда [cbm]x_2=3^{-1} \odot_5 4= 2 \odot_5 4=3[/cbm] .

Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим
[cbm]x_1 \oplus_5 2 \odot_5 3 \oplus_5 3 \odot_5 4=1[/cbm] , откуда [cbm]x_1 \oplus_5 1 \oplus_5 2=1[/cbm] и [cbm]x_1=-2=3[/cbm] .

Таким образом, [cbm]x_1=3,~x_2=3[/cbm] и [cbm]x_3=4[/cbm] — решение системы линейных уравнений.

Заметим в заключение, что известная техника решения систем линейных алгебраических уравнений в полях действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: