Неопределенный и определенный интегралы

Задача восстановления функции по ее производной

В дифференциальном исчислении рассматривались задачи, решение которых требовало отыскания производной данной функции. В ряде случаев приходится решать обратную задачу: по заданной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Задачи такого рода решаются в разделе математического анализа, называемом интегральным исчислением. Методы интегрального исчисления позволяют решать задачи на вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел и другие геометрические и физические задачи.

Пример 1. Пусть скорость [cbm]{v}[/cbm] движения точки в момент времени [cbm]{t}[/cbm] равна [cbm]2t[/cbm] . Найдем выражение для координаты точки в момент времени [cbm]{t}[/cbm] (точка движется по прямой).

Решение. Известно, что [cbm]v=\frac{dx}{dt}[/cbm] . Так как в данном случае [cbm]\frac{dx}{dt}=2t[/cbm] , то ответом к задаче могут быть функции [cbm]x=t^2;[/cbm] [cbm]x=t^2+3[/cbm] и т.д.; в общем виде ответ на поставленный вопрос записывается в виде [cbm]x=t^2+C[/cbm] , где [cbm]C[/cbm] — произвольная постоянная.

Из приведенного примера видно, что обратная задача имеет бесконечное множество решений. Чтобы получить определенный закон движения, необходимо знать, например, положение точки в момент времени [cbm]t=0[/cbm] . Если при [cbm]t=0[/cbm] имеем [cbm]x=0[/cbm] , то [cbm]0=0+C[/cbm] , и потому [cbm]C=0[/cbm] .

Перемещение точки за промежуток времени [cbm][a;b][/cbm] равно [cbm](b^2+C)-(a^2+C)=b^2-a^2[/cbm] , и, следовательно, оно не зависит от [cbm]C[/cbm] .


Первообразная функция

Определение 1. Пусть на некотором промежутке [cbm]X[/cbm] задана функция [cbm]y=f(x)[/cbm] . Функция [cbm]y=F(x)[/cbm] называется первообразной для [cbm]f(x)[/cbm] на этом промежутке, если для всех [cbm]x\in X[/cbm]

[cbm]F'(x)=f(x).[/cbm]

Термин "первообразная" был введен французским математиком Ж. Л. Лагранжем (1736—1813).

Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной из них.

Теорема 1. Если функция [cbm]y=f(x)[/cbm] имеет на промежутке [cbm]X[/cbm] первообразную [cbm]F(x)[/cbm] , то и все функции вида [cbm]F(x)+C[/cbm] будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная [cbm]\Phi(x)[/cbm] для функции [cbm]y=f(x),\,x\in X[/cbm] , может быть представлена в виде [cbm]\Phi(x)+C[/cbm] , где [cbm]F(x)[/cbm] — одна из первообразных функций, а [cbm]C[/cbm] — произвольная постоянная.

Доказательство. По определению первообразной имеем [cbm]F'(x)=f(x)[/cbm] . Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем:

[cbm](F(x)+C)'=F'(x)+C'=F'(x)=f(x).[/cbm]

Это и означает, что [cbm]F(x)+C[/cbm] является первообразной для [cbm]y=f(x)[/cbm] на промежутке [cbm]X[/cbm] .

Покажем теперь, что если функция [cbm]y=f(x)[/cbm] задана на промежутке [cbm]F[/cbm] и [cbm]F(x)[/cbm] — одна из первообразных для [cbm]f(x)[/cbm] , то любая первообразная [cbm]\Phi(x)[/cbm] может быть представлена в виде [cbm]\Phi(x)=F(x)+C[/cbm] .

В самом деле, по определению первообразной имеем: [cbm]\Phi'(x)=f(x)[/cbm] и [cbm]F'(x)=f(x)[/cbm] . Но две функции, имеющие на промежутке [cbm]X[/cbm] равные производные, отличаются лишь на постоянное слагаемое. Значит, [cbm]\Phi(x)=F(x)+C[/cbm] , что и требовалось доказать.


Определения неопределенного и определенного интегралов

Определение 2. Множество всех первообразных для функции [cbm]y=f(x)[/cbm] на промежутке [cbm]X[/cbm] называется неопределенным интегралом для [cbm]f(x)[/cbm] и обозначается [cbm]\textstyle{\int f(x)\,dx}[/cbm] .

Функцию [cbm]y=f(x)[/cbm] называют подынтегральной функцией для [cbm]\textstyle{\int f(x)\,dx}[/cbm] , а произведение [cbm]f(x)\,dx[/cbm] подынтегральным выражением.

Таким образом, [cbm]\int f(x)\,dx=\{F(x)+C\mid C\in \mathbb{R}\}[/cbm] . На практике принята более короткая запись: [cbm]\int f(x)\,dx=F(x)+C[/cbm] .

Часто говорят: "взять неопределенный интеграл" или "вычислить неопределенный интеграл", понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Мы видели, что если функция имеет хоть одну первообразную, то она имеет бесконечно много первообразных. На практике часто приходится искать разность значений первообразной в точках [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] . Эта разность не зависит от выбора произвольной постоянной [cbm]C[/cbm] . В самом деле, если [cbm]\Phi(x)=F(x)+C[/cbm] , то

[cbm]\Phi(b)-\Phi(b)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).[/cbm]

Итак, [cbm]\Phi(b)-\Phi(b)=F(b)-F(a)[/cbm] , что и требовалось доказать.

Поскольку разность значений первообразной в точках [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] не зависит от того, какую именно первообразную функции [cbm]y=f(x)[/cbm] мы выбираем, эту разность называют определенным интегралом от функции по отрезку [cbm][a;b][/cbm] .

Определение 3. Пусть функция [cbm]y=f(x)[/cbm] задана на отрезке [cbm][a;b][/cbm] и имеет на нем первообразную [cbm]y=F(x)[/cbm] . Разность [cbm]F(b)-F(a)[/cbm] называют определенным интегралом функции [cbm]f(x)[/cbm] по отрезку [cbm][a;b][/cbm] и обозначают [cbm]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx}[/cbm] . Итак,

[cbm]\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).[/cbm]

Разность [cbm]F(b)-F(a)[/cbm] записывают в виде [cbm]\Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}[/cbm] , тогда [cbm]\textstyle{\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \Bigl.{F(x)}\Bigr|_{a}^{b}}[/cbm] . Числа [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] называют пределами интегрирования.

Например, [cbm]y=\frac{x^3}{3}[/cbm] одна из первообразных для функции [cbm]y=x^2[/cbm] . Поэтому

[cbm]\int\limits_{a}^{b}x^2\,dx=\left.{\frac{x^3}{3}}\right|_{a}^{b}=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}=\frac{b^3-a^3}{3}\,.[/cbm]

Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть [cbm]F(x)[/cbm] является первообразной для [cbm]f(x)[/cbm] . Угловой коэффициент касательной в каждой точке графика функции [cbm]y=F(x)[/cbm] равен [cbm]F'(x)[/cbm] , т. е. [cbm]f(x)[/cbm] . Поэтому задача о нахождении первообразной геометрически означает следующее: зная угловой коэффициент касательной в каждой точке, найти кривую. Так как при параллельном переносе вдоль оси ординат угловой коэффициент касательной в точке с заданной абсциссой не изменяется, то, найдя одну такую кривую, все остальные искомые кривые получают из нее параллельным переносом в направлении оси ординат. Это семейство кривых (рис. 1) и представляет собой геометрическую иллюстрацию неопределенного интеграла.

Определенный интеграл [cbm]\textstyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}[/cbm] показывает изменение ординаты каждой из кривых [cbm]y=F(x)+C[/cbm] при переходе от точки [cbm]a[/cbm] к точке [cbm]b[/cbm] . Так как все эти кривые получаются друг из друга параллельным переносом в направлении оси ординат, то указанное изменение ординаты для всех кривых одно и то же (рис. 2).

Неопределенный и определенный интегралы

Рассмотрим задачи, решение которых сводится к вычислению определенных интегралов.


Задача 1. Пусть точка [cbm]M[/cbm] движется по прямой и пусть известна скорость [cbm]v=v(t)[/cbm] движения этой точки в любой момент [cbm]{x}[/cbm] времени [cbm]{t}[/cbm] промежутка [cbm][a;b][/cbm] . Найдем перемещение [cbm]{s}[/cbm] точки [cbm]M[/cbm] за этот промежуток времени.

Решение. Мы знаем, что если [cbm]x=x(t)[/cbm] — закон движения точки, то [cbm]v(t)=x'(t)[/cbm] . Поэтому [cbm]x(t)[/cbm] — одна из первообразных для функции [cbm]v=v(t)[/cbm] . Но перемещение [cbm]{s}[/cbm] точки [cbm]M[/cbm] за промежуток времени [cbm][a;b][/cbm] равно разности ее координат в моменты времени [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] , т.е. равно [cbm]x(b)-x(a)[/cbm] . Иными словами, это перемещение равно разности значений первообразной для функции [cbm]v=v(t)[/cbm] в моменты времени [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] . Таким образом, [cbm]s=\textstyle{\int\limits_{a}^{b}v(t)\,dt}[/cbm] .

Так, например, скорость тела при свободном падении выражают формулой [cbm]v=gt[/cbm] . В этом случае путь, пройденный падающим телом за [cbm]b[/cbm] секунд с начала падения, вычисляется так:

[cbm]s=\int\limits_{0}^{b}gt\,dt= \left.{\frac{gt^2}{2} }\right|_{0}^{b}= \frac{gb^2}{2}\,.[/cbm]

Задача 2. Найдем площадь криволинейной трапеции [cbm]aA\,Bb[/cbm] , ограниченной осью абсцисс, прямыми [cbm]x=a[/cbm] и [cbm]x=b[/cbm] и графиком непрерывной на [cbm][a;b][/cbm] функции [cbm]y=f(x)[/cbm] , принимающей на этом отрезке только неотрицательные значения (рис. 3).


Неопределенный и определенный интегралы

Прежде чем переходить к решению задачи, заметим, что здесь мы используем наглядное представление о площади плоской фигуры (более детально вопрос об определении площади).

Решение. Обозначим через [cbm]S(x)[/cbm] площадь криволинейной трапеции [cbm]aA\,Nx\,(a<x<b)[/cbm] . Докажем, что [cbm]S'(x)=f(x)[/cbm] .

Дадим абсциссе [cbm]x[/cbm] приращение [cbm]\Delta x[/cbm] (положим для определенности [cbm]\Delta x>0[/cbm] ), тогда площадь получит приращение [cbm]\Delta S[/cbm] . Обозначим через [cbm]m[/cbm] наименьшее значение функции [cbm]y=f(x)[/cbm] на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , а через [cbm]M[/cbm] — наибольшее значение той же функции на том же отрезке. Ясно, что тогда [cbm]m\cdot\Delta x\leqslant\Delta S\leqslant M\cdot\Delta x[/cbm] , а значит, [cbm]m\leqslant\frac{\Delta S}{\Delta x}\leqslant M[/cbm] .

Если [cbm]\Delta x\to 0[/cbm] , то в силу непрерывности функции [cbm]y=f(x)[/cbm] будем иметь:

[cbm]\lim_{\Delta x\to0}m=\lim_{\Delta x\to0}=f(x).[/cbm]

Значит, существует и [cbm]\lim\frac{\Delta S}{\Delta x}[/cbm] , причем этот предел равен [cbm]f(x)[/cbm] . Таким образом, [cbm]S'(x)=f(x)[/cbm] .

Полученное равенство означает, что [cbm]S(x)[/cbm] — одна из первообразных для функции [cbm]y=f(x)[/cbm] . Поскольку прямая [cbm]x=a[/cbm] "отсекает" от трапеции [cbm]aABb[/cbm] фигуру нулевой площади, то [cbm]S(a)=0[/cbm] . С другой стороны, [cbm]S(b)[/cbm] — площадь всей криволинейной трапеции [cbm]aABb[/cbm] . Значит, искомая площадь [cbm]S[/cbm] равна [cbm](S(b)-S(a))[/cbm] , т.е. равна разности значений одной из первообразных для функции [cbm]y=f(x)[/cbm] в точках [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] . Это означает, что

[cbm]\boldsymbol{S=\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\,.}[/cbm]

Пример 2. Найдем площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной полуволной синусоиды [cbm]y=\sin{x}[/cbm] (рис. 4).


Неопределенный и определенный интегралы

Решение. Искомая площадь [cbm]S[/cbm] выражается формулой [cbm]\textstyle{S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx}[/cbm] . Одной из первообразных для функции [cbm]y=\sin{x}[/cbm] является [cbm](-\cos{x})[/cbm] , так как [cbm](-\cos{x})'=\sin{x})[/cbm] . Значит,

[cbm]S= \int\limits_{0}^{\pi}\sin{x}\,dx=\Bigl.{-\cos{x}}\Bigr|_{0}^{\pi}= -(\cos\pi-\cos0)=-(-1-1)=2.[/cbm]

В заключение данного пункта остановимся на двух свойствах неопределенного интеграла, легко получающихся из определения.

1°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

[cbm]d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= f(x)\,dx,\quad \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x).[/cbm]

Доказательство. Так как [cbm]\textstyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C}[/cbm] , где [cbm]F'(x)=f(x)[/cbm] , то [cbm]\textstyle{\left(\int f(x)\,dx\right)'= \bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)+C'=f(x)}[/cbm] .

Но тогда [cbm]\textstyle{d\!\left(\int f(x)\,dx\right)= \left(\int f(x)\,dx\right)'dx=f(x)\,dx}[/cbm] .

Это утверждение часто используется для проверки результата интегрирования. Пусть, например, нужно показать, что

[cbm]\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C\quad (C=\text{const}).[/cbm]

Дифференцируя правую часть равенства, получим подынтегральную функцию:

[cbm]\left(\frac{5}{2}\,x^2+C\right)'=\frac{5}{2}\cdot 2x+0=5x[/cbm] . Значит, [cbm]\int5x\,dx=\frac{5}{2}\,x^2+C[/cbm] .

2°. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

[cbm]\int F'(x)\,dx=F(x)+C.[/cbm]

Доказательство. Так как [cbm]\bigl(F(x)+C\bigr)'=F'(x)[/cbm] , то по определению неопределенного интеграла [cbm]\textstyle{\int F'(x)\,dx=F(x)+C}[/cbm] , что и требовалось доказать.

Учитывая, что [cbm]F'(x)\,dx=d\bigl(F(x)\bigr)[/cbm] , свойство 2° можно записать и так: [cbm]\textstyle{\int d\bigl(F(x)\bigr)=F(x)+C}[/cbm] .


Таблица основных интегралов

Пользуясь свойством 1° из предыдущего пункта, можно по таблице производных составить таблицу основных интегралов. Например, так как

[cbm](\sin{x})'=\cos{x}[/cbm] , то [cbm]\int\cos{x}\,dx=\sin{x}+C.[/cbm] .

Докажем, что [cbm]\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/cbm] . В самом деле, если [cbm]x>0[/cbm] , то [cbm]|x|=x[/cbm] и, следовательно, [cbm]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln{x}\bigr)'=\frac{1}{x}\,[/cbm] .

Если [cbm]x<0[/cbm] , то [cbm]|x|=-x[/cbm] и, следовательно, [cbm]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\bigl(\ln(-x)\bigr)'= \frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}[/cbm] .

Итак, [cbm]\bigl(\ln|x|\bigr)'=\frac{1}{x}[/cbm] , а значит, [cbm]\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C[/cbm] .

Эту формулу можно применять или на открытом луче [cbm](0;+\infty)[/cbm] , или на открытом луче [cbm](-\infty;0)[/cbm] .

Таблица основных интегралов

[cbm]\begin{aligned}&\boldsymbol{1.}\quad \int 0\,dx=C; &\quad &\boldsymbol{2.}\quad \int 1\,dx=\int dx=x+C;\\ &\boldsymbol{3.}\quad \int x^{a}\,dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,~a\ne-1; &\quad &\boldsymbol{4.}\quad \int \frac{dx}{x}=\ln{x}+C;\\ &\boldsymbol{5.}\quad \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C; &\quad &\boldsymbol{6.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C;\\ &\boldsymbol{7.}\quad \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C; &\quad &\boldsymbol{8.}\quad \int e^x\,dx=e^x+C;\\ &\boldsymbol{9.}\quad \int \sin{x}\,dx=-\cos{x}+C; &\quad &\boldsymbol{10.}\quad \int \cos{x}\,dx=\sin{x}+C;\\ &\boldsymbol{11.}\quad \int \frac{dx}{\sin^2x}=-\operatorname{ctg}x+C; &\quad &\boldsymbol{12.}\quad \int \frac{dx}{\cos^2x}=\operatorname{tg}x+C;\\ &\boldsymbol{13.}\quad \int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\! \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C; &\quad &\boldsymbol{14.}\quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln \bigl|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\bigr|+C.\\ \end{aligned}[/cbm]

Заметим, что переменную [cbm]x[/cbm] , входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы [cbm]\textstyle{\int\cos{x}\,dx= \sin{x}+C}[/cbm] можно написать [cbm]\textstyle{\int\cos{t}\,dt= \sin{t}+C}[/cbm] и т.д.


Пример 3. Вычислим неопределённые интегралы от различных дробей:

[cbm]\mathsf{1)}~\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\,;\quad \mathsf{2)}~\int\frac{dx}{x^2+16}\,;\quad \mathsf{3)}~\int\frac{dx}{x^2-16}\,;\quad \mathsf{4)}~\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}\,;\quad \mathsf{5)}~\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}\,.[/cbm]

Решение. 1) Воспользуемся формулой 3 из таблицы интегралов:

[cbm]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}= \int x^{-1/3}\,dx= \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1}+C= \frac{3}{2}\,x^{2/3}+C;[/cbm]

2) Воспользуемся формулой 5: [cbm]\int\frac{dx}{x^2+16}= \int\frac{dx}{x^2+4^2}=\frac{1}{4} \operatorname{arctg}\frac{x}{2}+C;[/cbm] .

3) Воспользуемся формулой 12: [cbm]\int\frac{dx}{x^2-16}= \int\frac{dx}{x^2-4^2}= \frac{1}{8}\ln\!\left|\frac{x-4}{x+4}\right|+C;[/cbm] .

4) Воспользуемся формулой 6: [cbm]\int\frac{dx}{\sqrt{3-x^2}}= \int\frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{3})^2-x^2}}= \arcsin\frac{x}{\sqrt{3}}+C;[/cbm] .

5) Воспользуемся формулой 13: [cbm]\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-3}}= \ln\Bigl|x+\sqrt{x^2-3}\Bigr|+C.[/cbm] .

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: