Модули и линейные пространства

Рассмотрим абелеву группу [cbm]\mathcal{G}= (G,+,\bold{0})[/cbm] и кольцо [cbm]\mathcal{R}= (\mathbb{R}, +,\cdot, \bold{0},\bold{1})[/cbm] . Пусть каждому элементу [cbm]\alpha[/cbm] кольца [cbm]\mathcal{R}[/cbm] сопоставлено отображение [cbm]\omega_{\alpha}[/cbm] носителя группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] в себя так, что для любых [cbm]\alpha,\beta\in \mathbb{R}[/cbm] и любых [cbm]x,y\in G[/cbm] выполняются равенства:

1) [cbm]\omega_{\alpha}(x+y)= \omega_{\alpha}(x)+ \omega_{\alpha}(y)[/cbm] ;
2) [cbm]\omega_{\alpha+\beta}(x)= \omega_{\alpha}(x)+ \omega_{\beta}(x)[/cbm] ;
3) [cbm]\omega_{\alpha\cdot\beta}(x)= \omega_{\alpha}(\omega_{\beta}(x))[/cbm] ;
4) [cbm]\omega_{\bold{1}}(x)=x[/cbm] .

Последнее равенство означает, что отображение [cbm]\omega_{\bold{1}}[/cbm] , сопоставленное единице кольца [cbm]\mathcal{R}[/cbm] , является тождественным отображением множества [cbm]G[/cbm] на себя.

Тогда абелева группа [cbm]\mathcal{G}[/cbm] называется левым модулем над кольцом [cbm]\mathcal{R}[/cbm] .

Если равенство 3 в определении модуля переписать так: 3') [cbm]\omega_{\alpha\cdot\beta}(x)= \omega_{\alpha}\bigl(\omega_{\alpha}(x)\bigr)[/cbm] , то получим определение правого модуля над кольцом [cbm]\mathcal{R}[/cbm] .

Для коммутативного кольца [cbm]\mathcal{R}[/cbm] левый и правый модули совпадают, так как

[cbm]\omega_{\alpha}\bigl(\omega_{\beta}(x)\bigr)= \omega_{\beta\cdot\alpha}(x)= \omega_{\beta}\bigl(\omega_{\alpha}(x)\bigr).[/cbm]

Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнатурой, если множество [cbm]R[/cbm] бесконечно:

[cbm]\mathcal{G}= \bigl(G,+,\cdot,\bold{0}, \{\omega_{\alpha}\colon\, \alpha\in \mathcal{R}\}\bigr).[/cbm]

Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями [cbm]\omega_{\alpha}[/cbm] , сопоставленными элементам кольца [cbm]\mathcal{R}[/cbm] . Носитель модуля есть носитель [cbm]G[/cbm] группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] .

Теорема 2.10. В любом [cbm]\mathcal{R}[/cbm] -модуле имеют место тождества:

[cbm]\begin{aligned}&\mathsf{1)}\quad \omega_{\bold{0}}(x)=\bold{0}\,;\\ &\mathsf{2)}\quad \omega_{-\bold{1}}(x)=-x\,. \end{aligned}[/cbm]

1) [cbm]x+\omega_{\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)+ \omega_{\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}+ n\bold{0}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)=x[/cbm] . Решая уравнение [cbm]x+ \omega_{\bold{0}} (x)=x[/cbm] относительно [cbm]\omega_{\bold{0}}(x)[/cbm] получаем [cbm]\omega_{\bold{0}}(x)= x-x=\bold{0}[/cbm] .

2) [cbm]x+\omega_{-\bold{1}}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)+ \omega_{-\bold{1}}(x)= \omega_{-\bold{1}+(\bold{1})}(x)= \omega_{\bold{1}}(x)= \bold{1}[/cbm] . Таким образом, [cbm]x+\omega_{-\bold{1}}(x)=\bold{0}[/cbm] , откуда в силу определения противоположного элемента получаем [cbm]\omega_{-\bold{1}}(x)=-x[/cbm] .


Пример 2.16. а. Пусть [cbm]\mathcal{R}=(R,+,\cdot,\bold{0},\bold{1})[/cbm] — произвольное кольцо. В качестве группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] возьмем аддитивную группу этого кольца, а отображение [cbm]\omega_{\alpha},~ \alpha\in \mathbb{R}[/cbm] , определим так, что [cbm]\omega_{\alpha}(x)=\alpha\cdot x,[/cbm] [cbm]x\in \mathbb{R}[/cbm] . Это отображение называют левым сдвигом на [cbm]\alpha[/cbm] . Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образом, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение [cbm]\omega_{\alpha}[/cbm] есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное [cbm]alpha[/cbm] .

Если теперь задать для каждого [cbm]\alpha\in \mathbb{R}[/cbm] отображение [cbm]\widetilde{\omega}_{\alpha}\colon R\to R[/cbm] так, что [cbm]\widetilde{\omega}_{\alpha}= x\cdot \alpha[/cbm] (правый сдвиг на [cbm]\alpha[/cbm] ), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца [cbm]\mathbb{R}[/cbm] ) будет состоять из всевозможных правых сдвигов [cbm]\widetilde{\omega}_{\alpha}[/cbm] .

б. Пусть [cbm]\mathcal{G}[/cbm] есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства [cbm]L[/cbm] , а [cbm]\mathcal{R}[/cbm] — кольцо линейных операторов из [cbm]L[/cbm] в [cbm]L[/cbm] . Тогда, полагая для произвольных линейного оператора [cbm]A[/cbm] и вектора [cbm]\boldsymbol{x}[/cbm] пространства [cbm]L[/cbm] и [cbm]\omega_{A}(\boldsymbol{x})= A\boldsymbol{x}[/cbm] , получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом [cbm]\mathcal{R}[/cbm] .

в. Пусть [cbm]\mathcal{R}[/cbm] — кольцо квадратных числовых матриц порядка [cbm]n[/cbm] с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), a [cbm]\mathcal{G}[/cbm] — группа матриц-столбцов типа [cbm]n\times1[/cbm] по сложению. Отображение [cbm]\omega_{\alpha}[/cbm] определим по правилу [cbm]\omega_{\alpha}(X)= AX[/cbm] , где [cbm]A[/cbm] — квадратная матрица, а [cbm]X[/cbm] — вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами.

В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц.

Аналогично, взяв в качестве [cbm]\mathcal{G}[/cbm] аддитивную группу матриц-строк типа [cbm]1\times n[/cbm] и определив отображение [cbm]\widetilde{\omega}_{\alpha}(Y)= YA[/cbm] , где [cbm]A[/cbm] — квадратная матрица порядка [cbm]n[/cbm] , а [cbm]Y[/cbm] — матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц.


Если рассматривается левый [cbm]\mathcal{R}[/cbm] -модуль, то отображение иа называют левым умножением на элемент [cbm]\alpha[/cbm] кольца [cbm]\mathcal{R}[/cbm] и применяют обозначение [cbm]\omega_{\alpha}(x)= \alpha\circ x[/cbm] . Для правого [cbm]\mathcal{R}[/cbm] -модуля отображение [cbm]\omega_{\alpha}[/cbm] называют правым умножением на элемент [cbm]\alpha[/cbm] кольца [cbm]\mathbb{R}[/cbm] и пишут [cbm]\omega_{\alpha}= x\circ\alpha[/cbm] .

Модуль [cbm]\mathcal{R}[/cbm] , у которого кольцо [cbm]\mathcal{R}[/cbm] является полем, называют линейным пространством над полем [cbm]\mathcal{R}[/cbm] . Если кольцо [cbm]\mathcal{R}[/cbm] является полем действительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: