Кортеж и декартово произведение множеств

Пусть [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] — произвольные множества. Неупорядоченная пара на множествах [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] — это любое множество [cbm]\{a,b\}[/cbm] , где [cbm]a\in A,~ b\in B[/cbm] или [cbm]a\in B,~ b\in A[/cbm] .

Если [cbm]A=B[/cbm] , тo говорят о неупорядоченной паре на множестве [cbm]A[/cbm] . Исходя из понятия равенства множеств, можно утверждать, что неупорядоченная пара [cbm]\{a,b\}[/cbm] равна неупорядоченной паре [cbm]\{c,d\}[/cbm] если и только если [cbm]a=c[/cbm] и [cbm]b=d[/cbm] или [cbm]a=d[/cbm] и [cbm]b=c[/cbm] . Заметим, что равенство элементов множества понимается здесь (и далее в аналогичных ситуациях) как равенство индивидных констант.

В том случае, когда в неупорядоченной паре [cbm]\{a,b\}[/cbm] элементы [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] совпадают, получаем, что [cbm]\{a,b\}=\{a,a\}[/cbm] . Но такая запись, как мы условились выше, задает то же самое множество, что и [cbm]\{a\}[/cbm] . Таким образом, при [cbm]a=b[/cbm] неупорядоченная пара [cbm]\{a,b\}[/cbm] "вырождается" в одноэлементное множество [cbm]\{a\}[/cbm] . При [cbm]a\ne b[/cbm] неупорядоченная пара будет двухэлементным множеством.

Упорядоченная пара на множествах [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] , обозначаемая записью [cbm](a,b)[/cbm] , определяется не только самими элементами [cbm]a\in A[/cbm] и [cbm]b\in B[/cbm] , но и порядком, в котором они записаны. И в этом состоит ее существенное отличие от неупорядоченной пары. Если [cbm]A=B[/cbm] , то говорят об упорядоченной паре на множестве [cbm]A[/cbm] .

Существенная роль порядка, в котором перечисляются элементы упорядоченной пары, фиксируется определением равенства упорядоченных пар.

Определение 1.1. Две упорядоченные пары [cbm](a,b)[/cbm] и [cbm](a',b')[/cbm] на множествах [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] называют равными, если [cbm]a=a'[/cbm] и [cbm]b=b'[/cbm] .

Замечание 1.2. Упорядоченную пару [cbm](a,b)[/cbm] не следует связывать с множеством [cbm]\{a,b\}[/cbm] , так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара [cbm](a,b)[/cbm] есть неупорядоченная пара [cbm]\{a,\{a,b\}\}[/cbm] , включающая в себя одноэлементное множество [cbm]\{a\}[/cbm] и неупорядоченную пару [cbm]\{a,b\}[/cbm] . При [cbm]a=b[/cbm] получаем [cbm](a,a)=\{\{a\}\}[/cbm] . Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Простейший и важнейший пример использования упорядоченных пар дает аналитическая геометрия. Если на плоскости введена некоторая прямоугольная система координат, то каждая точка плоскости однозначно задается упорядоченной парой действительных чисел — координатами этой точки. Ни у кого не возникает сомнений в том, что порядок, в котором перечисляются координаты точки, является существенным: точка, заданная координатами (1, 3), совсем не то же самое, что точка с координатами [cbm](3,1)[/cbm] .

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества [cbm]\{a_1,\ldots,a_n\}[/cbm] кортеж [cbm](a_1,\ldots,a_n)[/cbm] на множествах [cbm]A_1,\ldots,A_n[/cbm] характеризуется не только входящими в него элементами [cbm]a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n[/cbm] , но и порядком, в котором они перечисляются. Как и для упорядоченных пар, роль порядка в кортеже фиксируется определением равенства кортежей.

Определение 1.2. Два кортежа [cbm](a_1,\ldots,a_n)[/cbm] и [cbm](b_1,\ldots,b_n)[/cbm] на множествах [cbm]A_1,\ldots,A_n[/cbm] равны, если [cbm]a_i=b_i,~ i=\overline{1,n}[/cbm] .

Число [cbm]n[/cbm] называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент [cbm]a_i[/cbm] — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение 1.2 равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Определение 1.3. Множество всех кортежей длины [cbm]n[/cbm] на множествах [cbm]A_1,\ldots,A_n[/cbm] называют декартовым (прямым) произведением множеств [cbm]A_1,\ldots,A_n[/cbm] и обозначают [cbm]A_1\times\ldots\times A_n[/cbm] .

Таким образом, [cbm]A_1\times\ldots\times A_n= \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\colon\, a_1\in A_1,\ldots, a_n\in A_n\bigr\}[/cbm] .

Если все множества [cbm]A_i,~ i=\overline{1,n}[/cbm] , равны между собой, то указанное декартово произведение называют n-й декартовой степенью множества [cbm]A[/cbm] и обозначают [cbm]A^n[/cbm] . В частности, при [cbm]n=2[/cbm] получаем декартов квадрат, а при [cbm]n=3[/cbm] — декартов куб множества [cbm]A[/cbm] .

По определению полагают, что первая декартова степень любого множества [cbm]A[/cbm] есть само множество [cbm]A[/cbm] , т.е. [cbm]A^1=A[/cbm] . Декартово произведение имеет следующие свойства:

1) [cbm]A\times (B\cup C)= (A\times B)\cup (A\times C)[/cbm] ;
2) [cbm]A\times (B\cap C)= (A\times B)\cap (A\times C)[/cbm] ;
3) [cbm]A\times \varnothing= \varnothing\times A= \varnothing[/cbm] .

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Докажем, например, первое тождество. Если [cbm](x,y)\in A\times (B\cup C)[/cbm] , то [cbm]x\in A[/cbm] и [cbm]y\in B\cup C[/cbm] . Из того, что [cbm]y\in B\cup C[/cbm] , следует [cbm]y\in B[/cbm] или [cbm]y\in C[/cbm] . Если [cbm]y\in B[/cbm] , то [cbm](x,y)\in A\times B[/cbm] , а если [cbm]y\in C[/cbm] , то [cbm](x,y)\in A\times C[/cbm] . Итак, [cbm](x,y)\in A\times B[/cbm] или [cbm](x,y)\in A\times C[/cbm] , то есть [cbm](x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C)[/cbm] . Следовательно,

[cbm]A\times (B\cup C)\subseteq (A\times B)\cup (A\times C).[/cbm]

Доказательство обратного включения аналогично.

Обратим внимание на последнее из записанных выше трех тождеств. Из него вытекает, что пустое множество при построении декартовых произведений множеств играет ту же роль, что и нуль при умножении чисел. Докажем справедливость этого тождества. В самом деле, множество [cbm]\varnothing\times A[/cbm] (для любого [cbm]A[/cbm] ) есть множество всех упорядоченных пар [cbm](x,y)[/cbm] , таких, что [cbm]x\in\varnothing[/cbm] и [cbm]y\in A[/cbm] . Но таких элементов [cbm]x[/cbm] , что [cbm]x\in\varnothing[/cbm] , не существует, и, следовательно, упорядоченных пар [cbm](x,y)[/cbm] , принадлежащих декартову произведению [cbm]\varnothing\times A[/cbm] , не существует, то есть [cbm]\varnothing\times A=\varnothing[/cbm] . Аналогично доказывается, что и [cbm]A\times \varnothing=\varnothing[/cbm] .

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: