Конгруэнции и фактор системы

В этой лекции нам будет удобно использовать "бесскобочную" запись для обозначения результата применения n-арной операции [cbm]\omega[/cbm] к элементам [cbm]a_1,\ldots,a_n[/cbm] и писать [cbm]a_1\ldots a_n\omega[/cbm] вместо [cbm]\omega(a_1,\ldots,a_n)[/cbm] .

Отношение эквивалентности [cbm]\rho[/cbm] на носителе алгебраической системы [cbm]\mathcal{A}[/cbm] называют конгруэнцией на алгебраической системе [cbm]\mathcal{A}[/cbm] , если выполняются условия:

1) для любой n-арной [cbm](n\geqslant1)[/cbm] операции [cbm]\omega[/cbm] и любых элементов [cbm]a_1,\ldots,a_n,\,b_1,\ldots,b_n\in A[/cbm] из того, что [cbm]a_i\,\rho\,b_i[/cbm] для каждого [cbm]i=\overline{1,n}[/cbm] , следует [cbm](a_1\ldots a_n\omega)\rho(b_1\ldots b_n\omega)[/cbm] ;

2) для любого n-арного [cbm](n\geqslant1)[/cbm] отношения [cbm]\pi[/cbm] и для любых элементов [cbm]a_1,\ldots,a_n,\,b_1,\ldots,b_n\in A[/cbm] из того, что [cbm]a_i\,\rho\,b_i[/cbm] для каждого [cbm]i=\overline{1,n}[/cbm] и [cbm](a_1,\ldots,a_n)\in\pi[/cbm] , следует [cbm](b_1,\ldots,b_n)\in\pi[/cbm] .

Первое условие означает, что результаты применения любой операции из [cbm]\Omega[/cbm] к попарно эквивалентным аргументам должны быть эквивалентными, а второе — что любое отношение из [cbm]\Pi[/cbm] содержит или не содержит кортеж [cbm](b_1,\ldots,b_n)[/cbm] независимо от того, какие именно элементы [cbm]b_i[/cbm] выбираются в соответствующем классе эквивалентности по отношению [cbm]\rho[/cbm] .

Пример 4.4. а. Рассмотрим [cbm](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/cbm] — поле действительных чисел. Докажем, что отношение равенства по модулю 1 (см. пример 1.14) не является конгруэнцией на этом поле, но является конгруэнцией на [cbm](\mathbb{R},+,\bold{0})[/cbm] — его аддитивной группе, т.е. на аддитивной группе действительных чисел.

Докажем сначала второе утверждение.

Пусть [cbm]a=b\pmod{1}[/cbm] и [cbm]c=d\pmod{1}[/cbm] . Тогда числа [cbm](a-b)[/cbm] и [cbm](c-d)[/cbm] являются целыми. Следовательно, и их сумма

[cbm](a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)[/cbm]

есть тоже целое число, т.е. [cbm]a+c=b+d\pmod{1}[/cbm] . Это и означает, что отношение равенства по модулю 1 является конгруэнцией на аддитивной группе действительных чисел.

Пусть, как и выше, [cbm]a=b\pmod{1}[/cbm] и [cbm]c=d\pmod{1}[/cbm] . Если бы (для любых [cbm]a,b,c,d[/cbm] ) отсюда следовало, что [cbm]a\cdot c=b\cdot d\pmod{1}[/cbm] , то тогда дробная часть [cbm]a\cdot c[/cbm] всегда совпадала бы с дробной частью [cbm]b\cdot d[/cbm] . Но каждое число равно по модулю 1 своей дробной части. Следовательно, тогда дробная часть произведения любых двух чисел должна была бы равняться произведению дробных частей этих чисел. Простой пример, приведенный ниже, показывает, что это не так.

При [cbm]b=a=1,\!1[/cbm] имеем [cbm]a=0,\!1\pmod{1},~ b=0,\!1\pmod{1}[/cbm] и [cbm]0,\!1^2=0,\!01[/cbm] . Так как [cbm]a\cdot b=1,\!1^2=1,\!21[/cbm] , то [cbm]a\cdot b=0,\!21\pmod{1}[/cbm] . Это и означает, что равенство по модулю 1 не есть конгруэнция на поле действительных чисел [cbm](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/cbm] .

б. Пусть [cbm](\mathbb{Z},+,\cdot,0,1)[/cbm] — кольцо целых чисел. Отношение равенства по модулю [cbm]k[/cbm] , введенное в ранее, будет конгруэнцией на данном кольце.

Действительно, пусть [cbm]m\equiv n\pmod{k}[/cbm] и [cbm]r\equiv s\pmod{k}[/cbm] . Тогда существуют такие целые числа [cbm]l_1[/cbm] и [cbm]l_2[/cbm] , что

[cbm]m-n=l_1\cdot k\,,\qquad r-s=l_2\cdot k\,.[/cbm]
(4.1)

Складывая уравнения системы (4.1), получаем

[cbm](m+r)-(n+s)=(l_1+l_2)\cdot k[/cbm] , то есть [cbm]m+r\equiv n+s\pmod{k}[/cbm] .

Умножая первое уравнение системы (4.1) на [cbm]r[/cbm] , второе — на [cbm]n[/cbm] и складывая результаты, получаем

[cbm]m\cdop r-n\cdot s=(l_1\cdot r+l_2\cdot s)\cdot k[/cbm] , то есть [cbm]m\cdot r\equiv n\cdot s\pmod{k}[/cbm] .

что и доказывает сформулированное выше утверждение.

в. Рассмотрим алгебраическую систему [cbm](\mathbb{Z},+,\cdot,0,1,\leqslant)[/cbm] , образованную из кольца целых чисел добавлением отношения [cbm]\leqslant[/cbm] (естественного числового порядка). Тогда равенство по модулю [cbm]k[/cbm] уже не будет конгруэнцией на данной алгебраической системе. Действительно, если, скажем, [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] при делении на [cbm]k[/cbm] дают один и тот же остаток [cbm]l[/cbm] , а [cbm]c[/cbm] и [cbm]d[/cbm] — один и тот же остаток [cbm]p[/cbm] , то из [cbm]a\leqslant c[/cbm] не следует, вообще говоря, что [cbm]b\leqslant d[/cbm] . Например,

[cbm]5=17\pmod{4},\quad 6=10\pmod{4},\quad 5\leqslant6[/cbm] , но [cbm]17>10[/cbm] .

Таким образом, отношение равенства целых чисел по модулю [cbm]k[/cbm] не "сохраняет" отношения [cbm]\leqslant[/cbm] , т.е. справедливость неравенства [cbm]a\leqslant b[/cbm] зависит от того, какие элементы [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] в соответствующих классах эквивалентности выбраны.

г. Пусть в линейном пространстве [cbm]L[/cbm] фиксировано линейное подпространство [cbm]V[/cbm] . Рассмотрим [cbm]L[/cbm] как модуль над полем действительных чисел [cbm](\mathbb{R},+,\cdot,0,1)[/cbm] . На множестве векторов [cbm]L[/cbm] зададим отношение [cbm]\sim_{V}[/cbm] так: [cbm]a\sim{V}b \Leftrightarrow a-b\in V[/cbm] . Нетрудно показать, что это отношение экивалентности. Далее, если [cbm]a\sim_{V}b[/cbm] и [cbm]c\sim_{V}d[/cbm] , то

[cbm](a+c)-(b+d)= (a-b)+(c-d)\in V,[/cbm]

поскольку каждое слагаемое в последней сумме есть вектор из подпространства [cbm]V[/cbm] . Для произвольного действительного [cbm]\alpha[/cbm] из [cbm]a\sim_{V}b[/cbm] следует, что [cbm]\alpha a\sim_{V}\alpha b[/cbm] , так как [cbm]\alpha a-\alpha b=\alpha(a-b)\in V[/cbm] . Таким образом, введенное отношение есть конгруэнция на линейном пространстве [cbm]L[/cbm] .

Напомним, что множество векторов линейного пространства по сложению есть абелева группа. Следовательно, рассмотренное отношение эквивалентности [cbm]\sim_{V}[/cbm] есть конгруэнция на этой группе. Покажем, что указанную конгруэнцию можно распространить на произвольную абелеву группу. Пусть [cbm]\mathcal{G}=(G,+,\bold{0})[/cbm] — некоторая абелева группа, а [cbm]\mathcal{H}=(H,+,\bold{0})[/cbm] — произвольная подгруппа группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] . Зададим отношение [cbm]\sim_{H}[/cbm] так: [cbm]a\sim_{H}b \Leftrightarrow a-b\in H[/cbm] . Рассуждая так же, как и в случае множества векторов линейного пространства, можно показать, что отношение [cbm]\sim_{H}[/cbm] является конгруэнцией.

д. Пусть [cbm]\mathcal{A}=(A,\leqslant)[/cbm] и [cbm]\mathcal{B}=(B,\preceq)[/cbm] — упорядоченные множества. Зададим отображение [cbm]f\colon A\to B[/cbm] так, чтобы оно было монотонно, т.е. чтобы для любых [cbm]a,b\in A[/cbm] из [cbm]a\leqslant b[/cbm] следовало [cbm]f(a)\preceq f(b)[/cbm] . Введем отношение эквивалентности [cbm]\sim{F}[/cbm] на [cbm]A[/cbm] , положив [cbm]a\sim_{f}b\Leftrightarrow f(a)=f(b)[/cbm] . Выясним, будет ли это отношение конгруэнцией на модели [cbm]\mathcal{A}=(A,\leqslant)[/cbm] .

Пусть [cbm]a_1\sim_{f}b_1,~ a_2\sim_{f}b_2[/cbm] и [cbm]a_1\leqslant b_2[/cbm] . Тогда в силу монотонности отображения [cbm]f[/cbm] имеем [cbm]f(a_1)\preceq f(a_2)[/cbm] , а так как [cbm]f(a_1)=f(b_1)[/cbm] и [cbm]f(a_2)=f(b_2)[/cbm] , то и [cbm]f(b_1)\preceq f(b_2)[/cbm] . Отсюда, однако, нельзя в общем случае сделать вывод, что [cbm]b_1\leqslant b_2[/cbm] . На рис. 4.1 [cbm]f(2)\preceq f(4)[/cbm] , но элементы 2 и 4 не сравнимы. Данное отображение (как нетрудно понять, монотонное) не будет конгруэнцией хотя бы потому, что [cbm]1\sim_{f}2[/cbm] , но [cbm]1\leqslant2[/cbm] , а 2 и 4 не сравнимы.

Конгруэнции и фактор системы

Если же отображение [cbm]f[/cbm] таково, что [cbm]a\leqslant b\Leftrightarrow f(a)\preceq f(b)[/cbm] , то [cbm]\sim_{f}[/cbm] будет конгруэнцией. Например, если на диаграмме Хассе для множества [cbm]\mathcalA}[/cbm] на рис. 4.1 добавить "ребро", соединяющее элемент 2 с элементом 4 (см. штриховую линию), т.е. считать, что [cbm]2<4[/cbm] , то можно будет получить конгруэнцию [cbm]\sim_{f}[/cbm] на множестве [cbm]A[/cbm] .


Согласно определению конгруэнции, на алгебраической системе [cbm]\mathcal{A}[/cbm] классы эквивалентности [cbm][a_1]_{\rho},\ldots, [a_n]_{\rho}[/cbm] вместе с любой n-арной [cbm](n\geqslant1)[/cbm] операцией и однозначно определяют класс эквивалентности элемента [cbm][a_1\ldots a_n\omega]_{\rho}[/cbm] . Другими словами, для любых элементов [cbm]x_1\in[a_1]_{\rho},\ldots,x_{n}\in[a_n]_{\rho}[/cbm] класс эквивалентности элемента [cbm]x_1\ldots x_n\omega[/cbm] зависит только от классов эквивалентности элементов [cbm]x_i,~ i=\overline{1,n}[/cbm] , но не зависит от выбора элемента в классе.

Таким образом, мы можем "перенести" операцию и на классы эквивалентности, положив

[cbm][a_1]_{\rho}\ldots [a_n]_{\rho}\omega= [a_1\ldots a_n\omega].[/cbm]

Аналогично для любого n-арного [cbm](n\geqslant1)[/cbm] отношения, по определению, полагаем (для любого [cbm]n\geqslant1[/cbm] , любого [cbm]\pi\in\Pi^{(n)}[/cbm] и любых [cbm]a_1,\ldots,a_n[/cbm] )

[cbm]\bigl([a_1]_{\rho},\ldots,[a_n]_{\rho}\bigr)\in\pi\quad \Leftrightarrow\quad (a_1,\ldots,a_n)\in\pi\,.[/cbm]

поскольку, согласно определению конгруэнтности, для любых [cbm]x_1\in[a_1]_{\rho}, \ldots, x_{n}\in [a_n]_{\rho}[/cbm] условие [cbm](x_1,\ldots,x_n)\in\pi[/cbm] зависит лишь от классов эквивалентности элементов [cbm]x_i,~ i=\overline{1,n}[/cbm] .

Заметим, что в этом случае мы использовали одинаковые символы ( [cbm]\omega[/cbm] и [cbm]\pi[/cbm] ) для соответствующих операций и отношения на разных множествах, опираясь на соглашение о сигнатурах однотипных алгебраических систем.

Итак, операции и отношения исходной сигнатуры можно перенести на множество классов эквивалентности по конгруэнции [cbm]\rho[/cbm] согласно приведенным выше формулам. Получаемая при этом алгебраическая система (однотипная с исходной) имеет в качестве носителя фактор-множество [cbm]A/\rho[/cbm] . Ее называют фактор-системой алгебраической системы [cbm]A[/cbm] по конгруэнции [cbm]\rho[/cbm] и обозначают [cbm]\mathcal{A}/\rho[/cbm] . В том случае, когда исходная алгебраическая система [cbm]\mathcal{A}[/cbm] является алгеброй (моделью), ее фактор-систему [cbm]\mathcal{A}/\rho[/cbm] называют фактор-алгеброй (фактор-моделью соответственно).


Пример 4.5. Вернемся к примеру 4.4.а. Конгруэнция, определенная в этом примере, — не что иное, как отношение [cbm]\sim_{\mathbb{Z}}[/cbm] (напомним, что для действительных чисел [cbm]x,y[/cbm] имеем [cbm]x\sim_{\mathbb{Z}}y \Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Z}[/cbm] ). Следовательно, фактор-алгебра [cbm](\mathbb{R},+,0)[/cbm] аддитивной группы целых чисел по конгруэнции равенства по модулю 1 — это фактор-группа [cbm]\mathbb{R}/\mathbb{Z}[/cbm] аддитивной группы действительных чисел по нормальному делителю [cbm]\mathbb{Z}[/cbm] , т.е. по подгруппе целых чисел.

Пример 4.5 есть проявление общей связи между понятиями конгруэнции и нормального делителя группы. Рассмотрим этот вопрос подробно.

Пусть [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/cbm] — группа, а [cbm]\mathcal{H}= (H,\cdot, \bold{1})[/cbm] — ее подгруппа, являющаяся нормальным делителем. Отношение [cbm]\sim_{H}[/cbm] , определенное на носителе [cbm]G[/cbm] исходной группы так, что

[cbm]a\sim_{H}b\quad \Leftrightarrow\quad aH=bH\,,[/cbm]

есть, согласно теореме 2.11, эквивалентность. Докажем, что [cbm]\sim_{H}[/cbm] является конгруэнцией. Для этого достаточно доказать, что для любых [cbm]a,b,c\in G[/cbm] из [cbm]a\sim_{H}c[/cbm] и [cbm]b\sim_{H}d[/cbm] следует [cbm]a\cdot b\sim_{H}c\cdot d[/cbm] .

Имеем [cbm]a\sim_{H}c[/cbm] , и это означает, что [cbm]aH=cH[/cbm] . Точно так же [cbm]bH=dH[/cbm] в силу [cbm]b\sim_{H}d[/cbm] . Так как [cbm]\mathcal{H}[/cbm] — нормальный делитель, то [cbm]abH=aHbH[/cbm] . Далее, [cbm]aHbH=cHdH[/cbm] , и, снова используя свойство нормального делителя, получаем [cbm]cHdH=cdH[/cbm] , откуда [cbm]abH=cdH[/cbm] .

Фактор-алгебра группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] по конгруэнции [cbm]\sim_{H}[/cbm] совпадает (подчеркнем — не просто изоморфна, а именно совпадает) с фактор-группой группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] по нормальному делителю [cbm]H[/cbm] .

В следующей лекции показано, что и, наоборот, фактор-алгебра любой группы по произвольной конгруэнции есть ее факторгруппа по некоторому нормальному делителю. Мы продолжим обсуждение идеи фактор-системы и поймем ее глубже, когда свяжем понятие фактор-системы с общим понятием гомоморфизма, знакомого нам пока только по частным случаям гомоморфизмов групп и колец.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: