Группы, кольца, поля в математике

Группа: определение и примеры групп

Множество \(G\) с алгебраической операцией \(\ast\) называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция \(\ast\) в \(G\) ассоциативна: \(a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c~ \forall a,b\in G\) ;

2) в \(G\) существует нейтральный элемент \(\theta\colon\, a\ast\theta=\theta\ast a=a~ \forall a\in G\) ;

3) для каждого элемента \(a\in G\) существует обратный ему элемент \(a^{-1}\in G\colon\, a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta\) .

Если операция \(\ast\) коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Относительно операции сложения группами являются множества \(\mathbb{Z},~ \mathbb{Q},~ \mathbb{R}\) . Относительно операции умножения группами являются множества \(\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) и \(R\setminus\{0\}\) отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные.

В группах по сложению нейтральный элемент \(\theta\) называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент \(a^{-1}\) — противоположным \((-a)\) . В группах по умножению нейтральный элемент \(\theta\) называют единичным (или просто единицей) и обозначают \(e\) , для обратного элемента \(a^{-1}\) название и обозначение сохраняется.


Пример В.4. Доказать, что множество \(\{0\}\) , состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.

Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как \(0+0=0\) . Из этого равенства следует, что этот единственный элемент множества служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна: \((0+0)+0=0+(0+0)\) . Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.

Пример В.5. Доказать, что множество \(\{+1,-1\}\) , состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как

\((+1)\cdot(+1)=+1,\qquad (+1)\cdot(-1)=(-1)\cdot(+1)=-1,\qquad (-1)\cdot(-1)=+1.\)
(B.1)

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент \(e=+1\) . Кроме того, каждый элемент имеет обратный: \((+1)^{-1}=+1,\) \((-1)^{-1}=-1\) . Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.


Кольцо

Множество \(K\) , на котором заданы две операции — сложение \((+)\) и умножение \((\cdot)\) , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) относительно операции сложения множество \(K\) — коммутативная группа, т.е.

а) операция сложения коммутативна: \(a+b=b+a~ \forall a,b\in K\) ;

б) операция сложения ассоциативна: \(a+(b+c)=(a+b)+c~ \forall a,b,c\in K\) ;

в) существует нулевой элемент \(\theta\colon\, a+\theta=\theta+a=a~ \forall a\in K\) ;

г) для каждого элемента \(a\in K\) существует противоположный ему элемент \((-a)\in K\colon\, a+(-a)=(-a)+a=\theta\) ;

2) операция умножения в множестве \(K\) ассоциативна:

\(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\qquad \forall a\in K\,,\quad \forall b\in K\,,\quad \forall c\in K\,;\)

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

\((a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,\quad c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b\qquad \forall a\in K\,,\quad \forall b\in K\,,\quad \forall c\in K\,;\)

Если операция умножения коммутативна: \(a\cdot b=b\cdot a\) , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент \(e\colon\,a\cdot e=e\cdot a=a\) , то говорят, что кольцо \(K\) — есть кольцо с единицей.

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве \(K\) заданы две операции \(\oplus\) и \(\otimes\) . Операция \(\otimes\) называется дистрибутивной слева относительно операции \(\oplus\) , если для любых \(a,\,b,\,c\) из \(K\) справедливо равенство:

\(c\otimes \bigl(a\oplus b\bigr)= \bigl(c\otimes a\bigr)\oplus \bigl(c\otimes b\bigr),\)

и дистрибутивной справа относительно операции \(\otimes\) , если для любых \(a,\,b,\,c\) из \(K\) справедливо равенство:

\(\bigl(a\oplus b\bigr)\otimes c=\bigl(a\otimes c\bigr)\oplus \bigl(b\otimes c\bigr).\)

Если операция \(\otimes\) коммутативна, то дистрибутивность слева операции \(\otimes\) относительно операции \(\oplus\) влечет дистрибутивность справа, так как

\(\bigl(a\oplus b\bigr)\otimes c= c\otimes \bigl(a\oplus b\bigr)= \bigl(c\otimes a\bigr)\oplus \bigl(c\otimes b\bigr)= \bigl(a\otimes c\bigr)\oplus \bigl(b\otimes c\bigr).\)

В этом случае говорят, что операция \(\otimes\) дистрибутивна относительно операции \(\oplus\) . Например, операция умножения чисел дистрибутивна (слева и справа) относительно операции сложения чисел. Следующий пример показывает, что имеются операции с "односторонней" дистрибутивностью.


Пример В.6. Рассмотрим множество \(\mathbb{R}^{+}\) положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения \((\times b)\) и возведения в положительную степень \((a\uparrow b=a^b)\) . Доказать, что операция \(\uparrow\) возведения в степень дистрибутивна справа относительно умножения, но не дистрибутивна слева.

Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел \(a,\,b,\,c\) справедливы равенства

\((a\cdot b) \uparrow c= (a\cdot b)^c= a^c\cdot b^c= \bigl(a\uparrow c\bigr)\cdot \bigl(b\uparrow c\bigr).\)

Следовательно, операция \(\uparrow\) дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность \(\uparrow\) слева относительно умножения опровергается примером

\(2\uparrow (3\cdot 2)= 2^{3\cdot2}= 2^6= 64\ne 32=2^3\cdot2^2= \bigl(2\uparrow 3\bigr)\cdot \bigl(2\uparrow 2\bigr).\)

Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где \(m\) и \(n\) — целые числа, является кольцом:

\(m+n\cdot\sqrt{2}\,.\)
(B.2)

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:

\(\begin{aligned}\bigl(m_1+n_1\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl(m_2+n_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= \bigl(m_1+m_2\bigr)+ \bigl(n_1+n_1\bigr)\cdot\sqrt{2}\,;\\ \bigl(m_1+n_1\cdot\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(m_2+n_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= \bigl(m_1\cdot m_2+2n_1\cdot n_2\bigr)+ \bigl(m_1\cdot n_2+m_2\cdot n_1\bigr)\cdot\sqrt{2}\,.\end{aligned}\)

Числа \((m_1+m_2),~ (n_1+n_2),~ (m_1m_2+2n_1n_2),~ (m_1n_2+m_2n_1)\) , очевидно, целые для любых целых \(m_1,\,m_2,\,n_1,\,n_2\) . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число \(\theta=0+0\sqrt{2}\) . Для каждого числа \(m+n\sqrt{2}\) l противоположным элементом является число \((-m)+(-n)\sqrt{2}\) , так как

\(\big(m+n\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl((-m)+(-n)\sqrt{2}\bigr)= (m-m)+(n-n)\cdot\sqrt{2}= 0+0\cdot\sqrt{2}\,.\)

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.


Поле: определение и примеры полей

Множество \(\Pi\) , на котором заданы две операции: сложение \((+)\) и умножение \((\cdot)\) , называется полем, если выполняются следующие условия:

1) \(\Pi\) — коммутативное кольцо с единицей \(e\ne\theta\) ;

2) для каждого элемента \(a\in\Pi\) , отличного от нулевого \((a\ne\theta)\) , существует обратный элемент \(a^{-1}\in\Pi\colon\, a\cdot a^{-1}=e\) .

Как видим, полеэто множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.

Пример В.8. На множестве \(M_3=\{0,1,2\}\) трех целых чисел определим две операции:

1) "сложение по модулю 3" — остаток от деления суммы \(a+b\) на 3 (обозначим через \(\overset{3}{a+b}\) );

2) "умножение по модулю 3" — остаток от деления произведения \(ab\) на 3 (обозначим через \(\overset{3}{a\cdot b}\) ).

Доказать, что множество \(M_3\) является полем относительно введенных операций.

Решение. В этом примере остаток от деления целого числа \(a\) на 3 будем обозначать через \(\{a\}_a\) . Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:

– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:

\(\{a+b\}_3=\bigl\{a+\{b\}_3\bigr\}_3;\)

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:

\(\{a\cdot b\}_3=\bigl\{a\cdot\{b\}_3\bigr\}_3.\)

Рассматриваемые в примере операции "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" можно представить в виде

\(\overset{3}{a+b}= \{a+b\}_3\) и \(\overset{3}{a\cdot b}= \{a\cdot b\}_3\)

а указанные свойства остатков записать так \(\overset{3}{a+b}= \overset{3}{a+\{b\}_3},~ \overset{3}{a\cdot b}= \overset{3}{a\cdot\{b\}_3}\) .

Перейдем теперь к решению задачи. Отметим, что введенные операции \(\overset{3}{a+b}\) и \(\overset{3}{a\cdot b}\) определены на \(M_3\) . Составим таблицы "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат \(M_3\) . Следовательно, операции действительно определены на \(M_3\) .

Таблица "сложения по модулю"

a \ b 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Таблица "умножения по модулю"

a \ b 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1

Покажем, что множество \(M_3\) является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция "сложения по модулю 3" коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства \(a+b=b+a\) следует, что

\(\overset{3}{a+b}= \{a+b\}_3= \{b+a\}_3= \overset{3}{b+a}\,.\)

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность "сложения по модулю 3" видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые \(a\) и \(b\) в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.

Из равенства \(a+(b+c)=(a+b)+c\) следует, что

\(a\,\overset{3}{+}\bigl(\overset{3}{b+c}\bigr)= \bigl\{a+\{b+c\}_3\bigr\}_3= \{a+b+c\}_3= \bigl\{\{a+b\}_3+c\bigr\}_3= \bigl(\overset{3}{a+b}\bigr)\overset{3}{+}\,c\,.\)

Ассоциативность "сложения по модулю 3" доказана.

Нулевым элементом \(\theta\) служит число 0. По таблице "сложения по модулю 3" определяем, что для каждого элемента \(a\) из \(M_3\) имеется противоположный элемент \((-a)\colon\, (-0)=0;~ (-1)=2;~ (-2)=1\) . Действительно, по таблице "сложения по модулю 3" получаем

\(0\,\overset{3}{+}\,(-0)= \overset{3}{0+0}=0;\qquad 1\,\overset{3}{+}\,(-1)= \overset{3}{1+2}=0;\qquad 2\,\overset{3}{+}\,(-2)= \overset{3}{2+1}=0;\)

Итак, множество \(M_3\) относительно операции "сложения по модулю 3" является коммутативной группой.

Операция "умножение по модулю 3" ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:

$$\begin{gathered}a\,\overset{3}{\cdot}\bigl(b\,\overset{3}{\cdot}\,c\bigr)= \bigl\{a\cdot\{b\cdot c\}_3\bigr\}_3= \{a\cdot b\cdot c\}_3= \bigl\{\{a\cdot b\}_3\cdot c\bigr\}_3= \bigl(a\, \overset{3}{\cdot}\, b\bigr) \overset{3}{\cdot}\,c\\[2pt] a\,\overset{3}{\cdot}\,b= \{a\cdot b\}_3= \{b\cdot a\}_3=b \,\overset{3}{\cdot}\,a.\end{gathered}$$

Проверим дистрибутивность:

\(a\,\overset{3}{\cdot}\,\bigl(\overset{3}{b+c}\bigr)= \bigl\{a\cdot\{b+c\}_3\bigr\}_3= \bigl\{a\cdot(b+ c)\bigr\}_3= \bigl\{a\cdot b+a\cdot c\bigr\}_3= \bigl\{\{a\cdot b\}_3+\{a\cdot c\}_3\bigr\}_3= \bigl(\overset{3}{a\cdot b}\bigr) \overset{3}{+}\, \bigl(\overset{3}{a\cdot c}\bigr).\)

Следовательно, операция "умножения по модулю 3" дистрибутивна слева относительно операции "сложения по модулю 3". Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.

Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице "умножения по модулю 3"). Следовательно, \(M_3\) — коммутативное кольцо с единицей.

Осталось показать существование обратных элементов. Для любого \(a\in M_3\) , отличного от нуля, существует обратный элемент \(a^{-1}\colon\, 1^{-1}=1\) ; \(2^{-1}=2\) . В самом деле, по таблице "умножения по модулю 3" \(1\,\overset{3}{\cdot}\,1^{-1}= 1\,\overset{3}{\cdot}\,1 =1\) и \(2\,\overset{3}{\cdot}\,2^{-1}= 2\,\overset{3}{\cdot}\,2 =1\) . Таким образом, множество \(M_3\) с введенными операциями является полем.

Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество \(M_p=\{0,1,2,\ldots,p-1\}\) с операциями "сложения по модулю \(p\) " и "умножения по модулю \(p\) " является полем для любого простого числа \(p\) .


Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где \(p\) и \(q\) — рациональные числа, является полем:

\(p+q\cdot\sqrt{2}\,.\)
(B.3))

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:

\(\begin{aligned}\bigl(p_1+q_1\cdot\sqrt{2}\bigr)+ \bigl(p_2+q_2\cdot\sqrt{2}\bigr)&= (p_1+p_2)+(q_1+q_2)\sqrt{2}\,;\\ \bigl(p_1+q_1\cdot\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(p_2+ q_2\cdot\sqrt{2} \bigr)&= (p_1p_2+ 2q_1q_2)+ (p_1q_2+p_2q_1)\sqrt{2}\,.\end{aligned}\)

Числа \((p_1+p_2),~ (q_1+q_2),~ (p_1p_2+2q_1q_2),~ (p_1q_2+p_2q_1)\) очевидно, рациональные для любых рациональных \(p_1,\,p_2,\,q_1,\,q_2\) . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число \(\theta=0+ 0\sqrt{2}\) . Для каждого числа \(p+q\sqrt{2}\) противоположным элементом является число \((-p)+(-q)\sqrt{2}\) , так как

\(\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)+ \bigl((-p)+(-q)\sqrt{2}\bigr)= (p-p)+(q-q)\sqrt{2}=0+0\sqrt{2}\,.\)

Единичным элементом служит число \(e=1+0\sqrt{2}\) . В самом деле, для любого числа \(p+q\sqrt{2}\) имеет место равенство:

\(\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\cdot \bigl(1+0\sqrt{2}\bigr)= \bigr(1+0\sqrt{2}\bigl)\cdot \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)= p+q\sqrt{2}\,.\)

Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей \((e\ne\theta)\) . Осталось показать, что любое число \(p+q\sqrt{2}\) , отличное от нулевого элемента \(\theta=0+0\sqrt{2}\) , имеет обратный. В самом деле, учитывая, что

\(\frac{1}{p+q\sqrt{2}}= \frac{p-q\sqrt{2}}{(p+q\sqrt{2})\cdot (p-q\sqrt{2})}= \frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q}{p^2-2q^2}\cdot\sqrt{2}\,,\)

определим обратный элемент равенством \(\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}= \frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q\sqrt{2}}{p^2-2q^2}\) . Тогда

\(\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}= \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)^{-1}\bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)= \bigl(p+q\sqrt{2}\bigr)\left(\frac{p}{p^2-2q^2}-\frac{q\sqrt{2}}{p^2-2q^2}\right)= 1+0\sqrt{2}=e\,.\)

Заметим, что знаменатель \(p^2-2q^2\) отличен от нуля для любых рациональных чисел \(p\) и \(q\) , не равных нулю одновременно. Действительно, равенство \(p^2=2q^2\) равносильно равенству \(|p|=|q|\sqrt{2}\) , а это означает, что \(\sqrt{2}\) — рациональное число. Поскольку число \(\sqrt{2}\) — иррациональное, значит \(p^2-2q^2\ne0\) , т.е. обратный элемент существует для любого \(p+q\sqrt{2}\ne\theta\) .

Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: