Группоиды полугруппы группы

Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой [cbm](\,\cdot\,)[/cbm] и условно называть в этом случае умножением.

Группоидом называют любую алгебру [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] , сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.

Группоид [cbm](G,\cdot)[/cbm] называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов [cbm]a,\,b,\,c[/cbm] носителя [cbm]G[/cbm] выполняется равенство

[cbm]a\cdot (b\cdot c)= (a\cdot b)\cdot c\,.[/cbm]

Пример 2.6. а. Множество [cbm]V_3[/cbm] свободных векторов вместе с операцией векторного умножения является группоидом, но не полугруппой, так как векторное умножение не ассоциативно.

б. Множество натуральных чисел вместе с операцией возведения в степень также будет только группоидом, так как [cbm](a^b)^c\ne a^{(b^c)}[/cbm] .

в. Множество [cbm]2^A[/cbm] всех подмножеств множества [cbm]A[/cbm] вместе с операцией [cbm]\setminus[/cbm] (разность множеств) тоже только группоид, поскольку указанная операция не ассоциативна.

г. Множество натуральных чисел [cbm]\mathbb{N}[/cbm] вместе с операцией сложения будет полугруппой.


Группоид [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] называют моноидом, если его операция ассоциативна и относительно операции существует нейтральный элемент. Его называют нейтральным элементом моноида [cbm]\mathcal{G}[/cbm] или единицей моноида и обозначают [cbm]\bold{1}[/cbm] .

Таким образом, моноид [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] есть полугруппа, в которой для любого а имеют место равенства [cbm]a\cdot\bold{1}=\bold{1}\cdot a=a[/cbm] , где [cbm]\bold{1}[/cbm] — нейтральный элемент (единица) моноида.

Поскольку нейтральный элемент относительно любой бинарной операции является единственным, мы можем рассматривать моноид как алгебру [cbm](G,\cdot,\bold{1}[/cbm] , сигнатура которой состоит из двух операций: бинарной операции [cbm]{}\cdot{}[/cbm] (умножение) и нульарной операции [cbm]\bold{1}[/cbm] (нейтрального элемента). Введение [cbm]\bold{1}[/cbm] в сигнатуру моноида удобно тем, что зачастую при рассмотрении конкретных примеров моноидов целесообразно явно указать нейтральный элемент относительно его операции. Например, алгебра [cbm](2^{A\times A},\circ,\operatorname{id}A)[/cbm] есть моноид всех бинарных отношений на множестве [cbm]A[/cbm] с операцией композиции бинарных отношений, в котором нейтральным элементом является диагональ множества [cbm]A[/cbm] .

Среди полугрупп выделяют полугруппы с коммутативной операцией — коммутативные полугруппы.


Пример 2.7. а. Множество всех бинарных отношений на произвольном множестве [cbm]A[/cbm] с операцией композиции отношений будет моноидом, нейтральным элементом которого служит диагональ множества [cbm]A[/cbm] , поскольку для любых бинарных отношений [cbm]\rho,\tau[/cbm] и [cbm]\sigma[/cbm] на множестве [cbm]A[/cbm] имеют место равенства

[cbm]\rho\circ (\tau\circ\sigma)= (\rho\circ\tau)\circ\sigma[/cbm] и [cbm]\operatorname{id}A\circ\rho= \rho\circ\operatorname{A}=\rho.[/cbm] .

б. Множество всех отображений некоторого множества [cbm]A[/cbm] в себя по операции композиции отображений есть моноид.

Напомним, что композиция отображений снова есть отображение и операция композиции имеет нейтральный элемент: тождественное отображение [cbm]A[/cbm] на себя. Поскольку любое отображение множества [cbm]A[/cbm] в себя можно рассматривать как бинарное отношение на этом множестве, а композицию отображений — как частный случай композиции отношений, требуемые свойства операции композиции отображений выполняются (см. пример 2.7.а). При этом тождественному отображению соответствует диагональ [cbm]\operatorname{id}A[/cbm] множества [cbm]A[/cbm] . Этот моноид называют часто симметрическим моноидом или симметрической полугруппой множества [cbm]A[/cbm] .

в. Алгебра [cbm](\mathbb{N}_0,+)[/cbm] , где носитель — множество [cbm]\mathbb{N}_0[/cbm] неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором нейтральный элемент — это число 0. Действительно, сумма двух натуральных чисел есть натуральное число, операция сложения ассоциативна, коммутативна и для любого натурального числа [cbm]n[/cbm] имеет место равенство [cbm]n+0=n[/cbm] .

Обратим внимание на то, что свойства нейтральных элементов и нулей ассоциируются со свойствами чисел 1 и 0 относительно операций умножения и сложения чисел.

г. Алгебра [cbm](\mathbb{Z},\cdot)[/cbm] , у которой носителем является множество целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции умножения, есть коммутативный моноид. Нейтральным элементом этого моноида является число 1.

д. Пусть [cbm]A[/cbm] — конечное множество, а [cbm]A^n[/cbm] — множество кортежей длины [cbm]n[/cbm] . На множестве всех кортежей [cbm]A^{+}= \mathop{\cup}\limits_{n\geqslant1}A^n[/cbm] определим операцию соединения (конкатенации) кортежей следующим образом:

[cbm](a_1,\ldots,a_m)\cdot (b_1,\ldots,b_k)= (a_1,\ldots,a_m,\, b_1,\ldots,b_k).[/cbm]

Можно видеть, что введенная операция ассоциативна, но не имеет нейтрального элемента. Таким образом, построена полугруппа, но не моноид.

Чтобы превратить эту полугруппу в моноид, расширим носитель полугруппы, введя понятие нулевой декартовой степени [cbm]A^0[/cbm] произвольного множества [cbm]A[/cbm] . Под [cbm]A^0[/cbm] понимают одноэлементное множество [cbm]\{\lambda\}[/cbm] , единственный элемент которого называют пустым кортежем. Такое определение множества [cbm]A^0[/cbm] объясняется следующим: мощность положительной декартовой степени [cbm]A^n[/cbm] конечного множества равна [cbm]|A|^n[/cbm] . При [cbm]n=0[/cbm] должно быть [cbm]|A^0|=|A|^0=1[/cbm] , откуда заключаем, что [cbm]A^0[/cbm] — одноэлементное множество.

Обозначив [cbm]A^{\ast}=A^{0}\cup A^{+}[/cbm] , по определению для любого [cbm]x\in A^{\ast}[/cbm] полагаем [cbm]x\cdot\lambda= \lambda\cdot x=x[/cbm] . В результате получим алгебру [cbm](A^{\ast},\cdot)[/cbm] , являющуюся моноидом, с нейтральным элементом [cbm]\lambda[/cbm] . Его называют свободным моноидом, порожденным множеством [cbm]A[/cbm] .


Полурешетка в абстрактной алгебре

Полугруппу, операция которой коммутативна и идемпотентна, называют полурешеткой.

Пример 2.8. а. Алгебры [cbm](2^A,\cup),\, (2^A,\cap)[/cbm] (для произвольного фиксированного множества [cbm]A[/cbm] ) являются полурешетками, поскольку операции [cbm]\cup[/cbm] и [cbm]\cap[/cbm] ассоциативны, коммутативны и идемпотентны.

б. Алгебра [cbm](\mathbb{N},\operatorname{lcm})[/cbm] , где [cbm]\operatorname{lcm}[/cbm] — операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа [cbm]m,\,n[/cbm] и [cbm]l[/cbm] . Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и представить в виде

[cbm]m=p_1^{\alpha_1}\cdot \ldots\cdot p_k^{\alpha_k},\qquad n=p_1^{\beta_1}\cdot \ldots\cdot p_k^{\beta_k},\qquad l=p_1^{\gamma_1}\cdot \ldots\cdot p_k^{\gamma_k},[/cbm]

где набор простых чисел [cbm]p_1,\ldots,p_k[/cbm] выбран одинаковым для всех трех чисел, а некоторые из показателей [cbm]\alpha_i,\,\beta_i[/cbm] и [cbm]\gamma_i,~ i=\overline{1,k}[/cbm] могут быть равными нулю. Тогда для чисел тип имеем

[cbm]\operatorname{lcm}(n,m)= p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot \ldots\cdot p_{k}^{\max(\alpha_k, \beta_k)}.[/cbm]

Таким образом, ассоциативность операции [cbm]\operatorname{lcm}[/cbm] сводится к ассоциативности операции max вычисления наибольшего из двух натуральных чисел. Ассоциативность последней вытекает из очевидного тождества [cbm]\max(a,\max(b,c))= \max(\max(a,b),c)[/cbm] , верного для любых чисел [cbm]a,\,b[/cbm] и [cbm]c[/cbm] .

Поскольку [cbm]\operatorname{lcm}(n,m)= \operatorname{lcm}(m,n)[/cbm] , операция [cbm]\operatorname{lcm}[/cbm] коммутативна, а так как для любого натурального числа справедливо равенство [cbm]\operatorname{lcm}(n.n)=n[/cbm] , то операция идемпотентна.

в. Алгебра [cbm](\mathbb{N},\gcd)[/cbm] , где [cbm]\gcd[/cbm] — операция вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел, также является полурешеткой.


Способы задания группы как алгебры

Группоид [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] называют группой, если операция ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) [cbm]\bold{1}[/cbm] относительно умножения и для каждого [cbm]x\in G[/cbm] существует такой элемент [cbm]x'\in G[/cbm] , называемый обратным к [cbm]x[/cbm] , что [cbm]x\cdot x'=x'\cdot x=\bold{1}[/cbm] .

Таким образом, группа — это алгебра [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] , в которой для всех [cbm]a,b,c\in G[/cbm] выполняется равенство [cbm]a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c[/cbm] , существует единственный элемент [cbm]\bold{1}\in G[/cbm] , такой, что [cbm]a\cdot\bold{1}= \bold{1}\cdot a=a[/cbm] для любого [cbm]a\in G[/cbm] , и для каждого [cbm]a\in G[/cbm] существует такой элемент [cbm]a'[/cbm] , что [cbm]a\cdot a'=a'\cdot a=\bold{1}[/cbm] . Короче говоря, группа — это моноид, в котором для каждого элемента существует обратный элемент.

Отметим, что задать группу как алгебру можно несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру.

Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] , а все свойства операции описывают дополнительно.

Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/cbm] и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя.

Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.1. В любой группе [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] для каждого [cbm]a\in G[/cbm] элемент, обратный к [cbm]a[/cbm] , единственный.

Пусть в группе [cbm](G,\cdot)[/cbm] с единицей [cbm]\bold{1}[/cbm] для некоторого [cbm]a[/cbm] существуют два элемента [cbm]a'[/cbm] и [cbm]a''[/cbm] , обратных к [cbm]a[/cbm] . Тогда [cbm]a'=a'\cdot\bold{1}[/cbm] в силу свойства единицы. Так как [cbm]\bold{1}=a\cdot a''[/cbm] , то [cbm]a'=a'\cdot (a\cdot a'')[/cbm] . Используя ассоциативность и учитывая, что [cbm]a'[/cbm] — элемент, обратный к а, получим

[cbm]a'\cdot (a\cdot a'')= (a'\cdot a)\cdot a''= \bold{1}\cdot a''=a''.[/cbm]

Единственность для каждого элемента [cbm]a[/cbm] обратного элемента [cbm]a'[/cbm] группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] позволяет обозначать его как [cbm]a^{-1}[/cbm] и операцию [cbm]\phantom{A}^{-1}\colon a\mapsto a^{-1}[/cbm] вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассматривать и как алгебру [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\phantom{A}^{-1},\bold{1})[/cbm] , сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента).

В дальнейшем в зависимости от контекста будем использовать все указанные варианты задания группы.

Среди групп также выделяют те, бинарная операция в которых коммутативна, — коммутативные (абелевы) группы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную операцию часто обозначают знаком [cbm]{}+[/cbm] и называют сложением.

Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитивной записи операции ее обозначают знаком [cbm]{}+[/cbm] , нейтральный элемент — знаком [cbm]\bold{0}[/cbm] , а элемент, обратный к [cbm]a[/cbm] относительно операции [cbm]{}+[/cbm] , записывают в виде [cbm]-a[/cbm] , называя его при этом противоположным к [cbm]a[/cbm] .

В мультипликативной записи операцию обозначают знаком [cbm]\cdot[/cbm] , нейтральный элемент — знаком [cbm]\bold{1}[/cbm] , а элемент, обратный к [cbm]a[/cbm] , записывают в виде [cbm]a^{-1}[/cbm] . В этом случае бинарную операцию группы часто называют умножением (также умножением группы или групповым умножением), а элемент [cbm]a\cdot b[/cbm] , как правило записываемый в виде [cbm]ab[/cbm] , — произведением элементов [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] .

В алгебраической литературе сложилась такая традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, распространенных и вместе с тем важных примеров коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы "скопированы" с терминов для группы [cbm](\mathbb{Z},+,0)[/cbm] . Аналогично мультипликативная запись произвольной группы " позаимствована" у мультипликативных групп рациональных и вещественных чисел.


Пример 2.9. а. Алгебра [cbm](\mathbb{Z},+)[/cbm] — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа [cbm]n[/cbm] существует обратный по сложению элемент, а именно число [cbm]-n[/cbm] , противоположное [cbm]n[/cbm] . Рассматриваемую группу называют аддитивной группой целых чисел.

б. Множество всех биекций некоторого множества [cbm]A[/cbm] на себя с операцией композиции отображений есть группа.

Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение [cbm]\operatorname{id}A[/cbm] — есть биекция, для всякой биекций [cbm]f\colon A\to A[/cbm] отображение [cbm]f^{-1}[/cbm] , обратное биекций [cbm]f[/cbm] , определено, является биекцией и выполнены равенства

[cbm]f\circ f^{-1}= f^{-1}\circ f= \operatorname{id}A\,.[/cbm]

Эту группу называют симметрической группой множества [cbm]A[/cbm] , а в том случае, когда множество [cbm]A[/cbm] конечно, — группой подстановок множества [cbm]A[/cbm] . Если множество [cbm]A[/cbm] состоит из [cbm]n[/cbm] элементов, группу подстановок этого множества называют также симметрической группой степени [cbm]n[/cbm] или группой подстановок n-й степени и обозначают [cbm]S_n[/cbm] (см. пример 2.10).

в. Алгебры [cbm](\mathbb{Q}\setminus \{0\},\cdot)[/cbm] и [cbm](\mathbb{R}\setminus \{0\}, \cdot)[/cbm] есть коммутативные группы. Их называют мультипликативной группой рациональных чисел и мультипликативной группой действительных чисел соответственно. В каждой из них число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обратный к числу [cbm]x[/cbm] по операции умножения элемент [cbm]x^{-1}[/cbm] есть число [cbm]x^{-1}=1/x[/cbm] .

г. Для произвольно фиксированного множества [cbm]A[/cbm] рассмотрим алгебру [cbm](2^A,\triangle)[/cbm] , где [cbm]\triangle[/cbm] — операция вычисления симметрической разности множеств. Операция [cbm]\triangle[/cbm] ассоциативна и коммутативна. Для любого [cbm]X\subseteq A[/cbm] имеем [cbm]X\,\triangle\,\varnothing=X[/cbm] . Кроме того, [cbm]X=Y[/cbm] тогда и только тогда, когда [cbm]X\,\triangle\,Y=\varnothing[/cbm] . Поэтому алгебра [cbm](2^A,\triangle)[/cbm] является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент — пустое множество.

д. Рассмотрим алгебру [cbm]\mathbb{Z}_{k}^{+}=(\{0,1,\ldots,k-1\},\oplus_k)[/cbm] , в которой операция [cbm]\oplus_k[/cbm] (сложения по модулю [cbm]k[/cbm] ) определяется так: для любых двух [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] число [cbm]m\oplus_{k}n[/cbm] , называемое суммой чисел [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] по модулю [cbm]k[/cbm] , равно остатку от деления арифметической суммы [cbm]m+n[/cbm] на [cbm]k[/cbm] . Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Ее называют аддитивной группой вычетов по модулю [cbm]k[/cbm] . Нейтральным элементом служит число 0, а обратным к числу [cbm]n[/cbm] будет [cbm]k-n[/cbm] , поскольку [cbm]n\oplus_{k}(k-n)=0[/cbm] .

е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка [cbm]n[/cbm] с операцией умножения матриц является группой. Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невырожденная матрица; единичная матрица порядка [cbm]n[/cbm] невырожденная, и матрица, обратная к невырожденной, также является невырожденной. Эту группу будем обозначать [cbm]\mathcal{M}_n[/cbm] .



Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами. Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента.

Теорема 2.2. Пусть [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot)[/cbm] — группа. Для любых элементов [cbm]a,b\in G[/cbm] верны тождества

[cbm](a\cdot b)^{-1}= b^{-1}\cdot a^{-1},\qquad (a^{-1})^{-1}=a\,.[/cbm]

В силу ассоциативности умножения группы имеем

[cbm](a\cdot b)\cdot (b^{-1}\cdot a^{-1})= \bigl((a\cdot b)\cdot b^{-1}\bigr)\cdot a^{-1}.[/cbm]

Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим

[cbm]\bigl((a\cdot b)\cdot b^{-1}\bigr)\cdot a^{-1}= a\cdot (b\cdot b^{-1})\cdot a^{-1}= a\cdot a^{-1}= \bold{1}\,.[/cbm]

Итак, [cbm](a\cdot b)\cdot (b^{-1}\cdot a^{-1})=\bold{1}[/cbm] . Точно так же доказывается, что [cbm](b^{-1}\cdot a^{-1})(a\cdot b)=\bold{1}[/cbm] . Поэтому элемент [cbm]b^{-1}\cdot a^{-1}[/cbm] является обратным к элементу [cbm]a\cdot b[/cbm] . Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому [cbm](a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}[/cbm] . Второе из доказываемых равенств следует непосредственно из определения элемента, обратного к данному. Действительно, определение элемента [cbm]a^{-1}[/cbm] , обратного к [cbm]a[/cbm] , равенством [cbm]a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=\bold{1}[/cbm] можно рассматривать как определение [cbm](a^{-1})^{-1}[/cbm] — обратного элемента к [cbm]a^{-1}[/cbm] , которым является, согласно этим равенствам, элемент [cbm]a[/cbm] . В силу теоремы 2.1 он единственный, то есть [cbm]a=(a^{-1})^{-1}[/cbm] .

Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению [cbm]a\cdot b[/cbm] , равен [cbm]b^{-1}\cdot a^{-1}[/cbm] , а элемент, обратный к элементу, обратному к [cbm]a[/cbm] , равен [cbm]a[/cbm] .


Теорема 2.3. В любой группе [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/cbm] справедливы левый и правый законы сокращения: если [cbm]a\cdot x=a\cdot y[/cbm] , то [cbm]x=y[/cbm] , и если [cbm]x\cdot a=y\cdot a[/cbm] , то [cbm]x=y[/cbm] .

Пусть [cbm]a\cdot x=a\cdot y[/cbm] . Умножая обе части этого равенства слева на элемент [cbm]a^{-1}[/cbm] , получаем

[cbm]a^{-1}\cdot (a\cdot x)= a^{-1}\cdot (a\cdot y).[/cbm]

В силу ассоциативности групповой операции последнее равенство можно записать так:

[cbm](a^{-1}\cdot a)\cdot x= (a^{-1}\cdot a)\cdot y\,.[/cbm]

Поскольку [cbm]a^{-1}\cdot a=\bold{1}[/cbm] , то [cbm]\bold{1}\cdot x=\bold{1}\cdot y[/cbm] , откуда [cbm]x=y[/cbm] . Тем самым доказан левый закон сокращения. Аналогично доказывается и правый закон.


Пусть [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/cbm] — группа, [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] — фиксированные элементы [cbm]G[/cbm] . Рассмотрим задачу решения уравнений

[cbm]a\cdot x=b,[/cbm]
(2.1)
[cbm]x\cdot a=b[/cbm]
(2.2)

в группе [cbm]\mathcal{G}[/cbm] , т.е. поиска всех таких элементов [cbm]x\in G[/cbm] , для которых уравнение (2.1) (или (2.2)) превращается в тождество.

Теорема 2.4. В любой группе [cbm]\mathcal{G}[/cbm] уравнения вида (2.1) и (2.2) имеют решения, и притом единственные.

Покажем, что [cbm]x=a^{-1}\cdot b[/cbm] есть решение (2.1). Действительно, [cbm]a\cdot (a^{-1}\cdot b)= (a\cdot a^{-1}\cdot b)=b[/cbm] .

Докажем единственность решения. Пусть для фиксированных [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] и некоторого [cbm]x[/cbm] выполнено равенство [cbm]a\cdot x=b[/cbm] . В группе для любого [cbm]a[/cbm] существует и однозначно определен элемент [cbm]a^{-1}[/cbm] , обратный к [cbm]a[/cbm] . Умножив на него обе части равенства, получим [cbm]a^{-1}\cdot (a\cdot x)= a^{-1}\cdot b[/cbm] . В силу ассоциативности преобразуем последнее равенство к виду [cbm](a^{-1}\cdot a)\cdot x=a^{-1}\cdot b[/cbm] . Поскольку [cbm]a^{-1}\cdot a=\bold{1}[/cbm] , то [cbm]\bold{1}\cdot x=a^{-1}\cdot b[/cbm] , откуда [cbm]x=a^{-1}\cdot b[/cbm] . Это решение единственное в силу единственности обратного элемента.

Аналогично из [cbm]x\cdot a=b[/cbm] получаем [cbm]x=b\cdot a^{-1}[/cbm] , и это решение также единственное.


Замечание. При использовании аддитивной записи операции для коммутативной группы [cbm]\mathcal{G}=(G,+,\bold{0})[/cbm] оба написанных выше уравнения сводятся к одному:

[cbm]a+x=b\,,[/cbm]

а его решение есть [cbm]x=b+(-a)[/cbm] . Правую часть этого равенства в коммутативной группе называют разностью элементов [cbm]b[/cbm] и [cbm]a[/cbm] и обозначают [cbm]b-a[/cbm] . Саму же операцию, сопоставляющую упорядоченной паре [cbm](a,b)[/cbm] разность [cbm]b-a[/cbm] , называют операцией вычитания. С учетом введенных обозначений решение уравнения в коммутативной группе можно записать так: [cbm]x=b-a[/cbm] .

В случае коммутативной группы при употреблении для бинарной операции мультипликативной записи решения обоих уравнений имеют вид [cbm]x=b\cdot a^{-1}[/cbm] . Выражение [cbm]b\cdot a^{-1}[/cbm] в коммутативной группе называют частным от деления [cbm]b[/cbm] на [cbm]a[/cbm] и обозначают [cbm]\tfrac{b}{a}[/cbm] (или [cbm]b/a[/cbm] ), а саму операцию называют операцией деления. Решение уравнения в этом случае записывают в виде [cbm]x=\tfrac{b}{a}[/cbm] (или [cbm]x=b/a[/cbm] ).


Пример 2.10. Рассмотрим группу подстановок n-й степени [cbm]S_n[/cbm] всех биекций n-элементного множества [cbm]\{1,2,\ldots,n\}[/cbm] . Произвольную биекцию [cbm]\sigma[/cbm] из [cbm]S_n[/cbm] обычно записывают в виде

[cbm]\begin{pmatrix}1&2& \cdots &n\\ \alpha_1& \alpha_2& \cdots& \alpha_n \end{pmatrix}\!,[/cbm]

обозначая тем самым, что образ 1 (при отображении [cbm]\sigma[/cbm] ) есть [cbm]\alpha_1[/cbm] , образ 2 есть [cbm]\alpha_2,\ldots[/cbm] образ [cbm]n[/cbm] есть [cbm]\alpha_n[/cbm] . Биекцию множества [cbm]\{1,\ldots,n\}[/cbm] на себя называют подстановкой этого множества. Подстановку, которая отображает [cbm]\alpha_1[/cbm] в [cbm]\alpha_2[/cbm] , [cbm]\alpha_2[/cbm] в [cbm]\alpha_3,\ldots,[/cbm] , [cbm]\alpha_{k-1}[/cbm] в [cbm]\alpha_{k}[/cbm] , а [cbm]\alpha_{k}[/cbm] в [cbm]\alpha_{1}[/cbm] , где [cbm]1\leqslant \alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k \leqslant n[/cbm] и все [cbm]\alpha_j[/cbm] попарно различны, а все элементы, отличные от [cbm]\alpha_1,\ldots,\alpha_k[/cbm] , отображаются сами в себя, называют циклом длины [cbm]k[/cbm] и записывают ее в виде [cbm](\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k)[/cbm] . Например, подстановку из группы [cbm]S_4[/cbm]

[cbm]\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}[/cbm] можно записать в виде [cbm]\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}[/cbm] .

Цикл длины 2 называют транспозицией. Транспозиция представляет такое отображение множества [cbm]\{1,\ldots,n\}[/cbm] в себя, при котором два элемента меняются местами, а остальные остаются на своих местах. Так, полная запись транспозиции [cbm](3&4)[/cbm] в [cbm]S_4[/cbm] будет иметь вид

[cbm]\begin{pmatrix}1&2&3&4\\ 1&2&4&3\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Подстановка, обратная подстановке [cbm]\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\ \alpha_1& \alpha_2& \cdots& \alpha_n \end{pmatrix}[/cbm] , есть подстановка, которая отображает [cbm]\alpha_1[/cbm] в 1, [cbm]\alpha_2[/cbm] в 2, [cbm]\ldots~ \alpha_n[/cbm] в [cbm]n[/cbm] . Отметим, что при записи обратной подстановки элементы первой строки тем не менее записываются в обычном порядке: [cbm]1,\ldots,n[/cbm] .

В группе [cbm]S_3[/cbm] решим следующее уравнение:

[cbm]\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&1\end{pmatrix}\! \circ X\circ\! \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&2&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Умножив обе части уравнения слева на

[cbm]\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1 \end{pmatrix}[/cbm] , получим [cbm]X\circ\! \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&1&3\end{pmatrix}[/cbm] .

Далее, умножив полученное уравнение справа на

[cbm]\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&3&1\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&2&3\\ 3&1&2 \end{pmatrix}[/cbm] окончательно получим [cbm]X=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 1&3&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&3 \end{pmatrix}[/cbm] .

Степень элемента в полугруппе

В полугруппе в общем случае законы сокращения и разрешимость уравнений типа (2.1) и (2.2) могут не иметь места. Например, в полугруппе квадратных матриц фиксированного порядка с операцией умножения матриц из матричного равенства [cbm]AX=AY[/cbm] , вообще говоря, не следует, что [cbm]X=Y[/cbm] . Это можно утверждать лишь при дополнительном предположении, что [cbm]\det{A}\ne0[/cbm] . Можно доказать, что в свободном моноиде, порожденном некоторым конечным множеством, оба закона сокращения справедливы, но никаких обратных элементов не существует.

В полугруппе можно умножать любой элемент [cbm]a[/cbm] сам на себя, причем в силу ассоциативности операции полугруппы элемент [cbm]\overbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}^{n~\text{times}}[/cbm] определен однозначно. Этот элемент называют n-й степенью элемента [cbm]a[/cbm] и обозначают [cbm]a^n[/cbm] . При этом

[cbm]a^1=a,\quad a^n=a\cdot a^{n-1},\quad n=2,3,\ldots[/cbm]

В моноиде вводят также нулевую степень элемента, полагая [cbm]a^0=\bold{1}[/cbm] .

Если [cbm](A,\cdot,\bold{1})[/cbm] — группа, то можно ввести и отрицательные степени элемента согласно равенству

[cbm]a^{-n}=(a^{-1})^n,\quad n=1,2,\ldots[/cbm]

Без доказательства сформулируем утверждения о свойствах степеней.


Теорема 2.5. Для любой полугруппы [cbm]a^m\cdot a^n= a^{m+n},~ (a^m)^n= a^{mn}~ (m,n\in \mathbb{N})[/cbm] .

Теорема 2.6. Для любой группы [cbm]a^{-n}=(a^n)^{-1},~ a^m\cdot a^n=a^{m+n},~ (a^m)^n=a^{nm}~ (m,n\in \mathbb{Z})[/cbm] .

Определение 2.4. Полугруппу (в частности, группу) [cbm](A,\cdot)[/cbm] называют циклической, если существует такой элемент [cbm]a[/cbm] , что любой элемент [cbm]x[/cbm] полугруппы является некоторой (целой) степенью элемента [cbm]a[/cbm] . Элемент [cbm]a[/cbm] называют образующим элементом полугруппы (группы).

Пример 2.11. а. Полугруппа [cbm](\mathbb{N}_0,+,0)[/cbm] циклическая, с образующим элементом 1. При аддитивной записи бинарной операции возведение элемента [cbm]a[/cbm] в положительную степень [cbm]n[/cbm] есть сумма [cbm]n[/cbm] этих элементов, и это записывают [cbm]n\cdot a[/cbm] (или [cbm]na[/cbm] , без знака умножения).

б. Группа [cbm](\mathbb{Z},+,0)[/cbm] также циклическая. Для нее образующими элементами могут быть 1 и –1. Рассмотрим элемент 1. Тогда

[cbm]\begin{gathered}0\cdot1=0,\quad 1= \underbrace{1+\ldots+1}_{n~ \text{times}}= n~(n>0), \quad (-1)\cdot1=-1,\\ (-n)\cdot1= n\cdot(-1)= \underbrace{(-1)+\ldots+(-1)}_{n~ \text{times}}=-n~ (n>0). \end{gathered}[/cbm]

Если в качестве образующего взять элемент –1, то [cbm]0\cdot(-1)=0[/cbm] , отрицательные целые числа получаются как положительные "степени" –1, а положительные — как отрицательные "степени" –1. Например, [cbm](-2)\cdot(-1)=2,~ 4\cdot (-1)=-4[/cbm] .

в. Группа [cbm](\mathbb{Z}_3,\oplus_3,0)[/cbm] вычетов по модулю 3 циклическая, причем любой ее ненулевой элемент является образующим.

Действительно, для 1 имеем [cbm]1\oplus_31=2,~ 1\oplus_3 1\oplus_3 1=0[/cbm] , а для 2 получим

[cbm]2^2=2\oplus_3 2=1,\qquad 2\oplus_3 2\oplus_3 2=0.[/cbm]

Строение конечных циклических групп

Изучим подробнее строение конечных циклических групп, используя мультипликативную запись бинарной операции. Напомним, что конечная алгебра {конечная группа, в частности) — это алгебра, носитель которой — конечное множество.

Порядком конечной группы называют количество элементов в этой группе.

Так, например, аддитивная группа вычетов по модулю [cbm]k[/cbm] имеет порядок [cbm]k[/cbm] . Симметрическая группа степени [cbm]n[/cbm] , т.е. группа подстановок [cbm]S_n[/cbm] , имеет порядок [cbm]n[/cbm] !. Мультипликативная группа вычетов по модулю [cbm]p[/cbm] , где [cbm]p[/cbm] — простое число, имеет порядок [cbm]p-1[/cbm] .

Порядок элемента а циклической группы — это наименьшее положительное [cbm]n[/cbm] , такое, что [cbm]a^n=\bold{1}[/cbm] .

Теорема 2.7. Порядок образующего элемента конечной циклической группы равен порядку самой группы.

Пусть [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/cbm] — конечная циклическая группа с образующим элементом [cbm]a[/cbm] и [cbm]n>0[/cbm] — порядок этого элемента.

Тогда все степени [cbm]a^0=\bold{1}, a^1=a,\ldots,a^{n-1}[/cbm] попарно различны. Действительно, если

[cbm]a^k=a^l,~ 0<l<k<n[/cbm] , то [cbm]a^{k-l}= a^{k+(-l)}= a^ka^l= a^la^{-l}= a^{l-l}= \bold{1}[/cbm] .

Поскольку [cbm]k-l<n[/cbm] , получено противоречие с выбором [cbm]n[/cbm] как порядка элемента [cbm]a[/cbm] (ибо найдена степень, меньшая [cbm]n[/cbm] , при возведении в которую элемента [cbm]a[/cbm] получится единица).

Осталось доказать, что любая степень элемента [cbm]a[/cbm] принадлежит множеству [cbm]\{\bold{1},a, \ldots, a^{n-1}\}[/cbm] . Для любого целого [cbm]m[/cbm] существуют также целые [cbm]n,k[/cbm] , такие, что [cbm]m=kn+q[/cbm] , где [cbm]q[/cbm] — целое и [cbm]0\leqslant q<n[/cbm] . Тогда

[cbm]a^m= a^{kn+q}= a^{kn}\cdot a^q= \bold{1}\cdot a^q= a^q\in \{\bold{1},a, \ldots, a^{n-1}\}.[/cbm]

Поскольку каждый элемент группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] есть некоторая степень элемента [cbm]a[/cbm] , то [cbm]G=\{\bold{1},a, \ldots, a^{n-1}\}[/cbm] и порядок группы равен [cbm]n[/cbm] .

Из доказанной теоремы следует, что в бесконечной циклической группе не существует такого [cbm]n>0[/cbm] , что для образующего элемента [cbm]a[/cbm] группы выполняется равенство [cbm]a^n=\bold{1}[/cbm] .

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: