Гомоморфизмы групп и нормальные делители

Пусть заданы группы [cbm]\mathcal{G}_1=(G_1,\cdot,\bold{1})[/cbm] и [cbm]\mathcal{G}_2= (G_2,\cdot,\bold{1})[/cbm] . Отображение [cbm]f\colon G_1\to G_2[/cbm] называют гомоморфизмом группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] (гомоморфизмом групп), если для любых [cbm]x,y\in G_1[/cbm] выполняется равенство [cbm]f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)[/cbm] , т.е. образ произведения любых двух элементов группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] при отображении [cbm]f[/cbm] равен произведению их образов в группе [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] .

Если отображение [cbm]f[/cbm] сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] на группу [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] .

Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] и [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.

Пример 2.21. Пусть [cbm]\mathcal{G}_1=(\mathbb{Z},+,0)[/cbm] — аддитивная группа целых чисел, а [cbm]\mathcal{G}_2=\mathbb{Z}_{k}^{+}[/cbm] — аддитивная группа вычетов по модулю [cbm]k[/cbm] .

Зададим отображение [cbm]f[/cbm] так: для всякого целого га образ [cbm]f(m)[/cbm] равен остатку от деления [cbm]m[/cbm] на [cbm]k[/cbm] . Можно проверить, что для любых целых [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] имеет место равенство [cbm]f(m+n)= f(m)\oplus_{m}f(n)[/cbm] , т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на [cbm]k[/cbm] равен сумме по модулю [cbm]k[/cbm] остатков от деления на [cbm]k[/cbm] каждого слагаемого.

Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] . Далее, поскольку любое целое число от 0 до [cbm]k-1[/cbm] есть остаток от деления на [cbm]k[/cbm] какого-то числа, то отображение [cbm]f[/cbm] является и эпиморфизмом группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] на группу [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] .

Теорема 2.14. Пусть [cbm]\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2[/cbm] — произвольные группы. Если [cbm]f\colon\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2[/cbm] — гомоморфизм, то:

1) образом единицы (нейтрального элемента) группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] при отображении [cbm]f[/cbm] является единица группы [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] , то есть [cbm]f(\bold{1})= \bold{1}[/cbm] ;

2) для всякого элемента [cbm]x[/cbm] группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] образом элемента [cbm]x^{-1}[/cbm] является элемент [cbm][f(x)]^{-1}[/cbm] , обратный элементу [cbm]f(x)[/cbm] , то есть [cbm]f(x^{-1})= [f(x)]^{-1}[/cbm] .

Согласно определению гомоморфизма, для произвольного [cbm]x\in G_1[/cbm] имеем [cbm]f(x)\cdot f(\bold{1})= f(x\cdot\bold{1})[/cbm] . Далее, [cbm]f(x\cdot\bold{1})=f(x)[/cbm] , то есть [cbm]f(x)\cdot f(\bold{1})=f(x)[/cbm] . Следовательно, [cbm]f(\bold{1})= (f(x))^{-1}\cdot f(x)= \bold{1}[/cbm] , то есть [cbm]f(\bold{1})=\bold{1}[/cbm] .

Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем

[cbm]f(x^{-1})\cdot f(x)= f(x^{-1}\cdot x)= f(\bold{1})= \bold{1}[/cbm] , то есть [cbm]f(x^{-1})= [f(x)]^{-1}[/cbm] .

Множество [cbm]f(G_1)[/cbm] — образ носителя группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] при гомоморфизме [cbm]f[/cbm] — замкнуто относительно умножения группы [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] . Действительно, если [cbm]g_2,g'_2\in f(\mathcal{G}_1)[/cbm] , то существуют такие [cbm]g_1,g'_1\in \mathcal{G}_1[/cbm] , что [cbm]f(g_1)=g_2[/cbm] и [cbm]f(g'_1)=g'_2[/cbm] . Тогда

[cbm]g_2g'_2= f(g_1)f(g'_1)= f(g_1g'_1)\in f(\mathcal{G}_1).[/cbm]

Из теоремы 2.14 следует, что [cbm]f(\mathcal{G}_1)[/cbm] содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] носителем которой будет множество [cbm]f(\mathcal{G}_1)[/cbm] . Эту группу называют гомоморфным образом группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] при гомоморфизме [cbm]f[/cbm] .

Группу [cbm]\mathcal{K}[/cbm] называют просто гомоморфным образом группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] , если существует гомоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] на группу [cbm]\mathcal{K}[/cbm] . Так, группа [cbm]\mathbb{Z}_{k}^{\ast}[/cbm] при любом [cbm]k>1[/cbm] является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).


Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу [cbm](\mathbb{C}\setminus\{0\}, \cdot,1)[/cbm] комплексных чисел с обычной операцией умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.

Рассмотрим также группу [cbm]\mathcal{M}_2[/cbm] невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).

Определим отображение [cbm]f[/cbm] множества [cbm]\mathbb{C}[/cbm] комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа [cbm]a+bi[/cbm] , что

[cbm]f(a+bi)= \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Покажем, что [cbm]f[/cbm] — гомоморфизм групп. С одной стороны,

[cbm]f\bigl[(a+bi)\cdot (c+di)\bigr]= f\bigl[(ac-bd)+i(ad+bc)\bigr]= \begin{pmatrix}ac-bd& ad+bc\\ -ad-bc& ac-bd \end{pmatrix}\!.[/cbm]
С другой стороны,
[cbm]f(a+bi)\cdot f(c+di)= \begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} c&d\\ -d&c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ac-bd& ad+bc\\ -ad-bc& ac-bd \end{pmatrix}\!.[/cbm]
Следовательно,
[cbm]f\bigl[(a+bi)\cdot (c+di)\bigr]= f(a+bi)\cdot f(c+di).[/cbm]

Таким образом, отображение [cbm]f[/cbm] — гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при [cbm]f[/cbm] — это подгруппа [cbm]\mathcal{K}[/cbm] группы матриц [cbm]\mathcal{M}_2[/cbm] , состоящая из матриц вида [cbm]\begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}[/cbm] . Здесь мы учли, что любая матрица вида [cbm]\begin{pmatrix}a&b\\ -b&a\end{pmatrix}[/cbm] является образом некоторого комплексного числа (а именно [cbm]a+bi[/cbm] ) при отображении [cbm]f[/cbm] . Группа [cbm]\mathcal{K}[/cbm] — собственная подгруппа группы [cbm]\mathcal{M}_2[/cbm] .


Важное свойство гомоморфизмов групп

Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.

Теорема 2.15. Если [cbm]f[/cbm] — гомоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{K}[/cbm] , а [cbm]g[/cbm] — гомоморфизм группы [cbm]\mathcal{K}[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{L}[/cbm] , то композиция отображений [cbm]f\circ g[/cbm] есть гомоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{L}[/cbm] .

Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.

Теорема 2.16. Если [cbm]f\colon\mathcal{G}_1\to \mathcal{G}_2[/cbm] — изоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] на группу [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] , то отображение [cbm]f^{-1}[/cbm] , обратное к отображению [cbm]f[/cbm] , есть изоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] на группу [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] .

Пусть [cbm]x[/cbm] и [cbm]y[/cbm] — произвольные элементы группы [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] , пусть также [cbm]x=f(u)[/cbm] , а [cbm]y=f(v)[/cbm] , где [cbm]u[/cbm] и [cbm]{v}[/cbm] — элементы группы [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] . Тогда

[cbm]f^{-1}(xy)= f^{-1}\bigl(f(u)f(v)\bigr)= f^{-1}(f(uv))= uv= f^{-1}(x)f^{-1}(y),[/cbm]

т.е. отображение [cbm]f^{-1}[/cbm] — гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то [cbm]f^{-1}[/cbm] — изоморфизм группы [cbm]\mathcal{G}_2[/cbm] на группу [cbm]\mathcal{G}_1[/cbm] .


Группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] и [cbm]\mathcal{K}[/cbm] называют изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение [cbm]\mathcal{G}\cong \mathcal{K}[/cbm] .

Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение [cbm]f[/cbm] множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.

Определение 2.8. Ядром гомоморфизма [cbm]f[/cbm] группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{K}[/cbm] называют прообраз [cbm]\ker f[/cbm] единицы группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] при гомоморфизме [cbm]f:[/cbm]

[cbm]\ker f=f^{-1}(\bold{1})\subset G\,.[/cbm]

Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на [cbm]k[/cbm] .

Теорема 2.17. Ядро [cbm]\ker f[/cbm] гомоморфизма [cbm]f\colon\mathcal{G}\to \mathcal{K}[/cbm] есть подгруппа группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] .

Нужно убедиться в том, что множество [cbm]\ker f[/cbm] замкнуто относительно умножения группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] , содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.

Если [cbm]a,b\in\ker f[/cbm] , то есть [cbm]f(a)=f(b)=\bold{1}[/cbm] , то [cbm]f(ab)= f(a)f(b)= \bold{1}[/cbm] и [cbm]ab\in\ker f[/cbm] . Ясно, что [cbm]\bold{1}\in\ker f[/cbm] , так как [cbm]f(\bold{1})=\bold{1}[/cbm] (см. теорему 2.14). Если [cbm]a\in\ker f[/cbm] , то

[cbm]f(a^{-1})= [f(a)]^{-1}= \bold{1}^{-1}= \bold{1}[/cbm] , то есть [cbm]a^{-1}\in\ker f[/cbm] .

Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных [cbm]k[/cbm] .

Подгруппа [cbm]\mathcal{H}[/cbm] группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] , если [cbm]aH=Ha[/cbm] для любого [cbm]a\in G[/cbm] .

В коммутативной группе, как было отмечено выше, [cbm]aH=Ha[/cbm] . Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.

Пусть [cbm]\mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1})[/cbm] — подгруппа группы [cbm]\mathcal{G}= (G,\cdot, \bold{1})[/cbm] . Для фиксированных элементов [cbm]a,b\in G[/cbm] через [cbm]aHb[/cbm] обозначим множество всех произведений вида [cbm]ahb[/cbm] , где [cbm]h\in H[/cbm] . В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.


Теорема 2.18. Подгруппа [cbm]\mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1})[/cbm] является нормальным делителем группы [cbm]\mathcal{G}=(G,\cdot,\bold{1})[/cbm] тогда и только тогда, когда [cbm]aHa^{-1}\subseteq H[/cbm] для любого [cbm]a\in G[/cbm] .

Если [cbm]\mathcal{H}[/cbm] — нормальный делитель, то для любого [cbm]a\in G[/cbm] имеем [cbm]aH=Ha[/cbm] , т.е. для любого [cbm]h\in H[/cbm] найдется такое [cbm]h_1\in H[/cbm] , что [cbm]ah=h_1a[/cbm] . Пусть элемент [cbm]x\in aHa^{-1}[/cbm] , то есть [cbm]x=aha^{-1}[/cbm] для некоторого [cbm]h\in H[/cbm] . Так как [cbm]ah=h_1a[/cbm] , то [cbm]x=h_1aa^{-1}=h_1\in H[/cbm] и поэтому [cbm]aHa^{-1}\subseteq H[/cbm] .

Обратно, если [cbm]aHa^{-1}\subseteq H[/cbm] , то любой элемент [cbm]x=aha^{-1}[/cbm] , где [cbm]h\in H[/cbm] , принадлежит и множеству [cbm]H[/cbm] , то есть [cbm]aha^{-1}= h_1[/cbm] для некоторого [cbm]h_1\in H[/cbm] . Отсюда, умножая последнее равенство на [cbm]a[/cbm] справа, получим [cbm]ah=h_1a[/cbm] , т.е. элемент [cbm]ah[/cbm] из левого смежного класса [cbm]aH[/cbm] принадлежит и правому смежному классу [cbm]Ha[/cbm] . Итак, [cbm]aH\subseteq Ha[/cbm] .

Теперь возьмем для произвольного [cbm]a\in G[/cbm] обратный к [cbm]a[/cbm] элемент [cbm]a^{-1}[/cbm] и для него запишем включение [cbm]a^{-1}Ha\subseteq H[/cbm] (напомним, что ( [cbm](a^{-1})^{-1}=a[/cbm] ). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых [cbm]h,h_1\in H[/cbm] имеет место равенство [cbm]a^{-1}h=h_1a^{-1}[/cbm] , то есть [cbm]ha=ah_1[/cbm] и [cbm]Ha \subseteq aH[/cbm] . Итак, [cbm]aH=Ha[/cbm] и [cbm]\mathcal{H}[/cbm] — нормальный делитель.


Связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма

Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из первых лекций связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.

Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма [cbm]f[/cbm] группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] в группу [cbm]\mathcal{K}[/cbm] является нормальным делителем группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] .

Для любого [cbm]y\in\ker f[/cbm] и любого [cbm]a\in G[/cbm] имеем

[cbm]f(aya^{-1})= f(a)f(y)f(a^{-1})= f(a)\cdot\bold{0}\cdot f(a^{-1})= f(a) f(a^{-1})= \bold{1}\,.[/cbm]

Это значит, что для любого [cbm]a\in G[/cbm] выполняется соотношение [cbm]a(\ker f)a^{-1}\subseteq\ker f[/cbm] , а, согласно теореме 2.18, [cbm]\ker f[/cbm] — нормальный делитель.


Пусть [cbm]\mathcal{H}=(H,\cdot,\bold{1})[/cbm] — нормальный делитель группы [cbm]\mathcal{G}= (G,\cdot,\bold{1})[/cbm] . Рассмотрим множество всех левых смежных классов [cbm]\{aH\colon\,a\in G\}[/cbm] . Это будет не что иное, как фактор-множество множества [cbm]G[/cbm] по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности [cbm]\sim_{H}[/cbm] .

Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением [cbm]aH\cdot bH[/cbm] классов [cbm]aH[/cbm] и [cbm]bH[/cbm] назовем класс [cbm]abH[/cbm] .

Это определение корректно, так как множество [cbm]aH\cdot bH[/cbm] , т.е. множество всех произведений вида [cbm]ahbh_1[/cbm] для различных [cbm]h,h_1\in H[/cbm] , в силу того что [cbm]Hb=bH[/cbm] для всякого [cbm]b\in G[/cbm] , совпадает с левым смежным классом [cbm]abH[/cbm] . Действительно, поскольку [cbm]hb=bh'[/cbm] для некоторого [cbm]h'\in H[/cbm] , то [cbm]ahbh_1=abh'h_1\in abH[/cbm] .

Теперь рассмотрим некоторый [cbm]a\in abH[/cbm] , т.е. [cbm]x=abh[/cbm] для некоторого [cbm]h\in H_1[/cbm] . Поскольку [cbm]bh=h'b[/cbm] для некоторого [cbm]h'\in H[/cbm] , то [cbm]x=ah'b= ah'b\bold{1}\in aHbH[/cbm] . Следовательно, [cbm]aH\cdot bH=abH[/cbm] .

Можно далее легко показать, что для каждого [cbm]a\in G[/cbm] имеют место

[cbm]aH\cdot H=H\cdot aH=aH[/cbm] и [cbm]aH\cdot a^{-1}H= a^{-1}H\cdot aH=H[/cbm] .

Тем самым определена группа, носителем которой является фактор-множество [cbm]G/\sim_{H}[/cbm] множества [cbm]G[/cbm] по отношению эквивалентности [cbm]\sim_{H}[/cbm] с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы [cbm]\mathcal{H}[/cbm] , а обратным к левому смежному классу [cbm]aH[/cbm] будет левый смежный класс [cbm]a^{-1}H[/cbm] . Эту группу называют фактор-группой группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] по нормальному делителю [cbm]\mathcal{H}[/cbm] и обозначают [cbm]\mathcal{G}/ \mathcal{H}[/cbm] . Можно указать естественный гомоморфизм [cbm]f[/cbm] группы [cbm]\mathcal{H}[/cbm] в фактор-группу [cbm]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/cbm] , который вводится согласно правилу: [cbm](\forall c\in G)(f(x)=xH)[/cbm] . Так как [cbm]xH\cdot yH= xyH[/cbm] , то для любых [cbm]x,y\in G[/cbm] имеем

[cbm]f(x\cdot y)= xyH= xH\cdot yH= f(x)\cdot f(y)[/cbm]

и [cbm]f[/cbm] — действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы [cbm]\mathcal{G}[/cbm] в фактор-группу [cbm]\mathcal{G}/\mathcal{H}[/cbm] .


Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу [cbm]\mathbb{R}= (\mathbb{R},+,0)[/cbm] действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел [cbm]\mathbb{Z}= (\mathbb{Z},+,0)[/cbm] (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: [cbm]\mathbb{R}[/cbm] и [cbm]\mathbb{Z}[/cbm] соответственно.)

Выясним смысл отношения эквивалентности [cbm]\sim_{\mathbb{Z}}[/cbm] , определяемого через равенство левых смежных классов, по подгруппе [cbm]\mathbb{Z}[/cbm] в этом случае.

Равенство левых смежных классов [cbm]a+\mathbb{Z}= b+\mathbb{Z}[/cbm] означает, что для любого целого [cbm]m[/cbm] найдется такое целое [cbm]n[/cbm] , что [cbm]a+m=b+n[/cbm] , то есть [cbm]a-b=n-m\in \mathbb{Z}[/cbm] . Обратно, если разность [cbm]a-b[/cbm] есть целое число, т.е. [cbm]a-b=n\in \mathbb{Z}[/cbm] , то [cbm]a+\mathbb{Z}= (b+n)+\mathbb{Z}= b+\mathbb{Z}[/cbm] . Итак, [cbm]a\sim_{\mathbb{Z}}b[/cbm] тогда и только тогда, когда [cbm]a-b\in \mathbb{Z}[/cbm] , или, иначе говоря, действительные числа [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] эквивалентны по [cbm]\sim_{\mathbb{Z}}[/cbm] тогда и только тогда, когда их дробные части равны.

Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа [cbm]\mathbb{R}/\mathbb{Z}[/cbm] группы [cbm]\mathbb{R}[/cbm] по нормальному делителю [cbm]\mathbb{Z}[/cbm] строится так: сумма классов [cbm]a+\mathbb{Z}[/cbm] и [cbm]b+\mathbb{Z}[/cbm] равна классу [cbm](a+b)+\mathbb{Z}[/cbm] . Вводя обозначение [cbm]a+\mathbb{Z}=[a][/cbm] , получаем [cbm][a]+[ b ]=[a+b][/cbm] . При этом [cbm][0]=\mathbb{Z}[/cbm] (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля — множество всех целых чисел), причем [cbm]-[a]=[-a]=(-a)+\mathbb{Z}[/cbm] . Обратим внимание на то, что смежный класс числа [cbm]a[/cbm] однозначно определяется его дробной частью [cbm]<x>[/cbm] (см. пример 1.14.6), то есть [cbm][x]=[<x>][/cbm] . Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: [cbm]x\mapsto[x][/cbm] .

б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1, т.е. группу [cbm]\mathbf{S}^1=([0;1),\oplus_{1},0)[/cbm] , заданную на полуинтервале [cbm][0;1)[/cbm] , сложение в которой определяется так: [cbm]x\oplus_{1}y=<x+y>[/cbm] (дробная часть суммы [cbm]x+y[/cbm] ). Другими словами,

[cbm]x\oplus_{1}y= \begin{cases}x+y,& \text{if}\quad x+y \leqslant 1;\\ x+y-1,& \text{if}\quad x+y \geqslant 1.\end{cases}[/cbm]

Докажем, что группа [cbm]\mathbf{S}^1[/cbm] изоморфна фактор-группе [cbm]\mathbb{R}/ \mathbb{Z}[/cbm] , то есть [cbm]\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong\mathbf{S}^1[/cbm] .

Зададим отображение [cbm]\varphi[/cbm] множества [cbm]\{[a]\colon\, a\in \mathbb{R}\}[/cbm] смежных классов в полуинтервал [cbm][0;1)[/cbm] так, что [cbm]\varphi([x])=<x>[/cbm] . Поскольку [cbm][x]=[<x>][/cbm] , то [cbm]\varphi[/cbm] — биекция и, кроме того,

[cbm]\varphi\bigl([x]+[y]\bigr)= \varphi\bigl([x+y]\bigr)= <x+y>= <<x>+<y>>= <x>\oplus_{1}<y>= \varphi([x])\oplus_{1}\varphi([y]).[/cbm]

Это значит, что [cbm]\varphi[/cbm] — изоморфизм [cbm]\mathbb{R}/ \mathbb{Z}[/cbm] на [cbm]\mathbf{S}^1[/cbm] .

Группу [cbm]\mathbf{S}^1[/cbm] можно воспринимать как "наглядный образ" фактор-группы [cbm]\mathbb{R}/ \mathbb{Z}[/cbm] . Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем [cbm][0;1)[/cbm] и операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части. Здесь хорошо видна "польза" понятия изоморфизма. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой изоморфный образ.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: