Формализация теории аристотелевых силлогизмов

Это еще один пример формальной аксиоматической теории. Рассматриваемый здесь способ формализации силлогистики был предложен в 1950-е гг. известным польским логиком Я.Лукасевичем.

Пусть строчные латинские буквы [cbm]a,b,c,\ldots[/cbm] обозначают переменные термины силлогистики, две прописные латинские буквы [cbm]A[/cbm] и [cbm]I[/cbm] — два силлогических бинарных отношения: [cbm]Aab:[/cbm] "Всякое [cbm]a[/cbm] есть [cbm]b[/cbm] ", [cbm]Iab:[/cbm] "Некоторое [cbm]a[/cbm] есть [cbm]b[/cbm] ".

Понятие формулы или правильно построенного силлогического предложения дается посредством следующего индуктивного определения:

1) [cbm]Aab[/cbm] и [cbm]Iab[/cbm] — простые (или атомарные) формулы силлогистики;
2) если [cbm]\alpha[/cbm] и [cbm]\beta[/cbm] — формулы силлогистики, то формулами силлогистики будут также
[cbm](\alpha\land\beta),\quad (\alpha\lor\beta),\quad (\alpha\to\beta),\quad \lnot\alpha\,;[/cbm]

3) никаких других формул, кроме получающихся по правилам пунктов 1 и 2, нет.

Перейдем теперь к формулировке аксиом. Во-первых, считаем, что имеется некоторое формализованное исчисление высказываний, построенное, например, на базе системы из трех аксиом. Так что эти аксиомы открывают список аксиом формальной силлогистики. В качестве специальных аксиом принимаются такие силлогические предложения:

[cbm](\mathsf{FS1})\colon\quad Aaa[/cbm] ;
[cbm](\mathsf{FS2})\colon\quad Iaa[/cbm] ;
[cbm](\mathsf{FS3})\colon\quad (Abc\land Aab)\to Aac[/cbm] (силлогизм Barbara);
[cbm](\mathsf{FS1})\colon\quad (Abc\land Ibc)\to Iac[/cbm] (силлогизм Datisi).

С помощью следующих определений введем еще два силлогических бинарных отношения [cbm]E[/cbm] и [cbm]O[/cbm] : [cbm]Eab[/cbm] означает [cbm]\lnot Iab[/cbm] , [cbm]Oab[/cbm] означает [cbm]\lnot Aab[/cbm] . Для удобства построения выводов на основе этих определений формулируются правила о возможности замены всюду в формулах [cbm]\lnot I[/cbm] на [cbm]E[/cbm] и наоборот, а также [cbm]\lnot A[/cbm] на [cbm]O[/cbm] и наоборот. Таким образом, в нашей формальной системе, которую будем обозначать [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] , оказываются выраженными все четыре основных отношения силлогистики. Напомним, что в аристотелевой силлогистике отношение [cbm]Eab[/cbm] означает "Никакое [cbm]a[/cbm] не есть [cbm]b[/cbm] ", а [cbm]Oab[/cbm] — "Некоторые [cbm]a[/cbm] не есть [cbm]b[/cbm] ".

В качестве правил вывода в системе формализованной силлогистики [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] принимаются два правила подстановки и правило заключения modus ponens:

а) подстановка в выводимую формулу исчисления высказываний на место пропозициональной переменной (всюду, где она входит в формулу) одной и той же силлогической формулы дает выводимую формулу системы [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] ;

б) подстановка в выводимую формулу системы [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] на место переменного термина (всюду, где он входит в формулу) другого переменного термина дает выводимую формулу системы [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] ;

в) правило modus ponens: если формулы [cbm]\alpha\to\beta,\,\alpha[/cbm] выводимы в [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] , то в [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] выводима и формула [cbm]\beta[/cbm] .

Обратим внимание на то, что в качестве третьей [cbm](\mathsf{FS3})[/cbm] и четвертой [cbm](\mathsf{FS4})[/cbm] аксиом выбраны правильные аристотелевы силлогизмы Barbara и Datisi. Остальные семнадцать правильных силлогизмов нам предстоит доказать на основе данной системы аксиом. Приступим теперь к доказательству теорем формальной силлогистики.

[cbm](\mathsf{FS5})\colon[/cbm] (Силлогические законы противоречия): а) [cbm]\lnot(Aab\land Oab)[/cbm] ; б) [cbm]\lnot(Iab\land Eab)[/cbm] .

Доказательство. Закон а) получается из закона отрицания противоречия исчисления высказываний [cbm]\lnot(X\land\lnot X)[/cbm] в результате подстановки [cbm]X\mid Aab[/cbm] (вместо [cbm]X[/cbm] подставляется силлогическая формула [cbm]Aab[/cbm] ) и замены по определению [cbm]\lnot Aab[/cbm] на [cbm]Oab[/cbm] . Подстановкой [cbm]X\mid Iab[/cbm] в тот же закон и заменой по определению [cbm]\lnot Iab[/cbm] на [cbm]Eab[/cbm] доказывается закон б).

[cbm](\mathsf{FS6})\colon[/cbm] (Силлогические законы исключенного третьего): a) [cbm]Aab\lor Oab[/cbm] ; б) [cbm]Iab\lor Eab[/cbm] .

Доказательство. Для обоих законов их доказательство вытекает из логического закона исключенного третьего [cbm]X\lor\lnot X[/cbm] в результате очевидных подстановок и замен.

[cbm](\mathsf{FS7})\colon[/cbm] (Закон обращения), [cbm]Iab\to Iba[/cbm] .

Доказательство. В закон разделения посылок исчисления высказываний [cbm]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl(X\to (Y\to Z)\bigr)[/cbm] делаем подстановку [cbm]X\mid Abc,\, Y\mid Iba,\, Z\mid Iac[/cbm] и из полученной формулы и аксиомы [cbm](\mathsf{FS4})[/cbm] по правилу modus ponens выводим: [cbm]Abc\to (Iba\to Iac)[/cbm] . Подстановка [cbm]b|a,\, c|a,\, a|b[/cbm] приводит к формуле [cbm]Aaa\to (Iab\to Iba)[/cbm] , из которой и из аксиомы [cbm](\mathsf{FS1})[/cbm] по правилу modus ponens следует требуемая формула: [cbm]Iab\to Iba[/cbm] .

[cbm](\mathsf{FS8})\colon[/cbm] (Законы подчинения): a) [cbm]Aab\to Iab[/cbm] ; б) [cbm]Eab\to Oab[/cbm] .

Доказательство, а) В закон перестановки посылок исчисления высказываний [cbm](X\to (Y\to Z))\to (Y\to (X\to Z))[/cbm] делаем подстановку [cbm]X\mid Abc,~ Y\mid Ibc,~ Z\mid Iac[/cbm] . Посылка полученной формулы представляет собой следующую формулу: [cbm]Abc\to(Ibc\to Iac)[/cbm] , выводимую в [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] , что установлено в ходе доказательства предыдущей теоремы. Тогда из этих двух формул по правилу MP выводим формулу: [cbm]Iba\to(Abc\to Iac)[/cbm] . Подстановка [cbm]b\mid a,~c\mid b[/cbm] в последнюю формулу дает формулу [cbm]Iaa\to(Aab\to Iab)[/cbm] . Из нее и аксиомы [cbm](\mathsf{FS2})[/cbm] по правилу MP выводим требуемый закон.

б) В закон контрапозиции исчисления высказываний [cbm](X\to Y)\to (\ne Y\to\ne X)[/cbm] делаем подстановку [cbm]X\mid Aab,~ Y\mid Iab[/cbm] и из полученной формулы и предыдущего закона подчинения [cbm]Aab\to Iab[/cbm] по правилу MP выводим: [cbm]\ne Iab\to\ne Aab[/cbm] . Применяя правила о замене [cbm]\ne I[/cbm] на [cbm]E[/cbm] и [cbm]\ne A[/cbm] на [cbm]O[/cbm] , получаем: [cbm]Eab\to Oab[/cbm] .

В следующей теореме формулируются и доказываются в формальной силлогистике FS все оставшиеся 17 правильных аристотелевых силлогизмов.

Теорема 28.5 (Аристотелевы силлогизмы). Следующие формулы являются теоремами формальной системы [cbm]\mathsf{FS}[/cbm] :


Фигура I Фигура II
1) [cbm](Abc\land Iab)\to Iac~(Darii)[/cbm] ;
2) [cbm](Ebc\land Aab)\to Eac~(Celarent)[/cbm] ;
3) [cbm](Ebc\land Iab)\to Oac~(Ferio)[/cbm] ;
4) [cbm](Acb\land Oab)\to Oac~(Baroco)[/cbm] ;
5) [cbm](Acb\land Eab)\to Eac~(Camestres)[/cbm] ;
6) [cbm](Ecb\land Aab)\to Eac~(Cesare)[/cbm] ;
7) [cbm](Ecb\land Iab)\to Oac~(Festino)[/cbm] ;
Фигура III Фигура IV
8) [cbm](Abc\land Aba)\to Iac~(Darapti)[/cbm] ;
9) [cbm](Ibc\land Aba)\to Iac~(Disamis)[/cbm] ;
10) [cbm](Obc\land Aba)\to Oac~(Bocardo)[/cbm] ;
11) [cbm](Ebc\land Aba)\to Oac~(Felapton)[/cbm] ;
12) [cbm](Ebc\land Iba)\to Oac~(Ferison)[/cbm] ;
13) [cbm](Icb\land Aba)\to Iac~(Dimaris)[/cbm] ;
14) [cbm](Acb\land Aba)\to Iac~(Bramanti p)[/cbm] ;
15) [cbm](Acb\land Eba)\to Eac~(Camenes)[/cbm] ;
16) [cbm](Ecb\land Aba)\to Oac~(Fesapo)[/cbm] ;
17) [cbm](Ecb\land Iba)\to Oac~(Fresison)[/cbm] ;

Доказательство. Приведем доказательства некоторых из этих силлогизмов.

1) Используя теорему о дедукции, нетрудно убедиться в том, что следующая формула

[cbm]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to Y)\to ((X\land V)\to Z)\bigr)[/cbm]

является теоремой формализованного исчисления высказываний. Делаем в нее подстановку: [cbm]X\mid Abc,~ Y\mid Iba,~ Z\mid Iac[/cbm] . Получаем формулу

[cbm]\bigl((Abc\land Iba)\to Iac\bigr)\to \bigl((V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)\bigr).[/cbm]

Вместе с аксиомой [cbm](\mathsf{FS4})[/cbm] она по правилу MP дает формулу [cbm](V\to Iba)\to ((Abc\land V)\to Iac)[/cbm] . Делаем сюда подстановку [cbm]V\mid Iab[/cbm] . Получаем [cbm](Iab\to Iba)\to \bigl((Abc\land Iab)\to Iac\bigr)[/cbm] . Из этой формулы и формулы теоремы [cbm](FS7)[/cbm] по правилу MP выводим требуемую формулу.

4) Начинаем со следующей теоремы формализованного исчисления высказываний:

[cbm]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((X\land\ne Z)\to\ne Y\bigr).[/cbm]

Подстановка [cbm]X\mid Abc,~ Y\mid Aab,~ Z\mid Aac[/cbm] в нее дает

[cbm]\bigl((Abc\land Aab)\to Aac\bigr)\to \bigl((Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab\bigr).[/cbm]

Из этой формулы и аксиомы [cbm](\mathsf{FS3})[/cbm] по правилу MP выводим формулу [cbm](Abc\land\ne Aac)\to\ne Aab[/cbm] .

Используя правило о замене [cbm]\ne A[/cbm] на [cbm]O[/cbm] , получаем: [cbm](Abc\land Oac)\to Oab[/cbm] . Наконец, подстановка [cbm]b\mid c,~ c\mid b[/cbm] приводит нас к требуемой формуле.

8) В ходе доказательства формулы 1) была выведена формула [cbm](V\to Iba)\to \bigl((Abc\land V)\to Iac\bigr)[/cbm] . Сделаем в нее подстановку [cbm]V\mid Aba[/cbm] . Получим:

[cbm](Aba\to Iba)\to \bigl((Abc\land Aba)\to Iac\bigr).[/cbm]

Используя теорему [cbm](\mathsf{FS8}a)[/cbm] (в которой сделать подстановку [cbm]a\mid b,~ b\mid a[/cbm] , по правилу MP получаем требуемую формулу.

9) Подстановка [cbm]a\mid c,~ c\mid a[/cbm] в аксиому [cbm](\mathsf{FS4})[/cbm] дает [cbm]Aba\land Ibc\to Ica[/cbm] , а подстановка [cbm]a\mid c,~ b\mid a[/cbm] в теорему [cbm](\mathsf{FS}7)[/cbm] приводит к формуле [cbm]Ica\to Iac[/cbm] . Наконец, подстановка [cbm]X\mid Aba\land Ibc,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac[/cbm] в выводимую формулу исчисления высказываний (закон силлогизма) [cbm](X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr)[/cbm] дает формулу

[cbm]\bigl((Aba\land Ibc)\to Iac\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to (Aba\land Ibc)\to Iac\bigr).[/cbm]

Используя полученные выше формулы для двукратного применения правила MP и исходя из последней формулы, получаем: [cbm](Aba\land Ibc)\to Iac[/cbm] .

Далее, сделав подстановку [cbm]X\mid Ibc,~ Y\mid Aba[/cbm] в выводимую формулу [cbm](X\land Y)\to (Y\land X)[/cbm] , получаем формулу [cbm](Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)[/cbm] . В использованный выше закон силлогизма сделаем другую подстановку: [cbm]X\mid Ibc\land Aba,[/cbm] [cbm]Y\mid Aba\land Ibc,~ Z\mid Iac[/cbm] . Получим формулу

[cbm]\bigl((Ibc\land Aba)\to (Aba\land Ibc)\bigr)\to \bigl(((Aba\land Ibc)\to Iac)\to ((Ibc\land Aba)\to Iac)\bigr).[/cbm]

Теперь применим дважды правило вывода MP: сначала к этой формуле и предыдущей, а затем к полученному результату и последней формуле предыдущего абзаца. В результате получим требуемую формулу.

13) Сделав в доказанную формулу 1) подстановку [cbm]c\mid a,~ a\mid c[/cbm] , получаем: [cbm](Aba\land Icb)\to Ica[/cbm] . Сделав подстановку [cbm]X\mid Aba\land Icb,~ Y\mid Ica,~ Z\mid Iac[/cbm] в закон силлогизма [cbm](X\to Y)\to \bigl((Y\to Z)\to (X\to Z)\bigr)[/cbm] , получим формулу

[cbm]\bigl((Aba\land Icb)\to Ica\bigr)\to \bigl((Ica\to Iac)\to ((Aba\land Icb)\to Iac)\bigr).[/cbm]

Применяя дважды правило MP (учитывая при этом теорему [cbm](\mathsf{FS}7)[/cbm] ), получаем: [cbm](Aba\land Icb)\to Iac[/cbm] .

Сделав в закон силлогизма другую подстановку [cbm]X\mid Icb\land Aba,~ Y\mid Aba\land Icb,~ Z\mid Iac[/cbm] , придем к формуле

[cbm]\bigl((Icb\land Aba)\to (Aba\land Icb)\bigr)\to \bigl(\bigl((Aba\land Icb)\to Icb\bigr)\to ((Icb\land Aba)\to Iac)\bigr).[/cbm]

Учитывая выводимость посылки этой формулы (см. второй абзац в доказательстве формулы 9)) и только что установленную выводимость посылки остающейся формулы, после двукратного применения правила MP придем к требуемой формуле.

14) Из [cbm]Aab\to Iab[/cbm] (теорема [cbm](\mathsf{FS8}a)[/cbm] ) с помощью подстановки а|с получаем: [cbm]Acb\to Icb[/cbm] . В выводимую формулу исчисления высказываний

[cbm]\bigl((X\land Y)\to Z\bigr)\to \bigl((V\to X)\to ((V\land Y)\to Z)\bigr)[/cbm]

делаем подстановку [cbm]X\mid Icb,~ Y\mid Aba,~ Z\mid Iac,~ V\mid Acb[/cbm] . В результате получаем формулу

[cbm]\bigl((Icb\land Aba)\to Iac\bigr)\to \bigl((Acb\to Icb)\to ((Acb\land Aba)\to Iac)\bigr).[/cbm]

Учитывая формулу 13) и выведенную вначале формулу, после двукратного применения правила MP приходим к требуемой формуле.

Докажите выводимость остальных аристотелевых силлогизмов.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: