Химия

Период полураспада $\tau$ - время, за которое самопроизвольно распадается половина атомов исходного вещества:

$m_{1} = \frac{1}{2} m_{0}$,

где $m_{0}$ - масса исходных атомов, $m_{1}$ - масса атомов через время $\tau$.

За время, равное двум периодам полураспада, распадается половина оставшихся атомов, т. е. $\frac{m_{1} }{2}$, и остается:

$m_{2} = \frac{1}{2} m_{1} = \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{2} m_{0} \right ) = \left ( \frac{1}{2} \right )^{2} m_{0}$

массы исходного вещества.

За три периода полураспада остается:

$m_{3} = \frac{1}{2}m_{2} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{3} m_{0}$

массы исходного вещества.

Отсюда легко вывести формулу, по которой, зная период полураспада $\tau$ и исходную массу вещества, можно найти массу оставшихся атомов в любой момент времени $t$:

$m_{t} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{t/ \tau} m_{0}$

Эта показательная функция должна решаться логарифмированием, но в тех случаях, когда дано время, равное 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. (кратное периодам полураспада), задача легко решается арифметически:

$\frac{ m_{t}}{m_{0} } = \left ( \frac{1}{2} \right )^{t/ \tau } = \frac{1}{32} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{5}; m_{t} = \left ( \frac{1}{2} \right )^{5} m_{0}$,

отсюда $t = 5 \tau = 5 \cdot 138 = 690$ сут.

Задача может быть решена и при использовании так называемой постоянной распада, которая характеризует неустойчивость ядер радиоактивного изотопа. Постоянная распада рассчитывается по формуле:

$k = \frac{2,303}{t} lg \frac{A_{1} }{A_{2} }$, (1)

где $t$ - период распада; $A_{1}$ - начальная активность изотопа; $A_{2}$ - активность изотопа по истечении времени $t$ (в нашем случае $t$ соответствует периоду полураспада $\tau$).

$k = \frac{2,303}{138} lg 2 = 0,005$

По условиям задачи интенсивность источника должна уменьшаться в 32 раза, т. е. $A_{1} = 32 A_{2}$. В уравнение (1) подставим полученное значение константы, активности и определим время:

$0,005 = \frac{2,303}{t} lg 32$
$t = \frac{2,303 \cdot lg 32}{0,005} = 690$ сут.

Ответ: 690 сут.