Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Напомним, что мы назвали криволинейной трапецией фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми [cbm]x=a[/cbm] и [cbm]x=b[/cbm] и графиком функции [cbm]y=f(x)[/cbm] . В этом пункте выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

Теорема 3. Если функция [cbm]y=f(x)[/cbm] неотрицательна на отрезке [cbm][a;b][/cbm] и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причем ее площадь [cbm]S[/cbm] выражается формулой

[cbm]{ S= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\,.}[/cbm]
(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции [cbm]y=f(x)[/cbm] . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры (см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

[cbm]\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\leqslant S\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} M_k\Delta x_k\,,[/cbm]

где [cbm]\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k[/cbm] — площадь внутренней ступенчатой фигуры, [cbm]\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k[/cbm] —площадь внешней ступенчатой фигуры, [cbm]m_k=\min_{x\in [x_k;x_{k+1}]}f(x)[/cbm] и [cbm]M_k=\max_{x\in[x_k;x_{k+1}]}f(x)[/cbm] . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

[cbm]\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\leqslant \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\leqslant \sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k\,.[/cbm]

Таким образом, числа [cbm]S[/cbm] и [cbm]\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/cbm] разделяют одни и те же числовые множества: [cbm]\Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k\,\Biggr\},[/cbm] [cbm]\Biggl\{\,\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k\,\Biggr\}[/cbm] . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому [cbm]S=\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/cbm] . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции [cbm]y=f_1(x)[/cbm] , сверху графиком функции [cbm]y=f_2(x)[/cbm] , а слева и справа прямыми [cbm]x=a,~x=b[/cbm] (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

[cbm]S= \int\limits_{a}^{b}\bigl[f_2(x)-f_1(x)\bigr]dx\,.[/cbm]

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями [cbm]dx[/cbm] и высотами [cbm]f(x)[/cbm] .

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Пусть теперь функция [cbm]y=f(x)[/cbm] непрерывна на отрезке [cbm][a;b][/cbm] и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции [cbm]F[/cbm] .

Рассмотрим фигуру [cbm]\Phi[/cbm] , симметричную фигуре [cbm]F[/cbm] относительно оси [cbm]Ox[/cbm] . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке [cbm][a;b][/cbm] функции [cbm]y=f(x)[/cbm] , которая на [cbm][a;b][/cbm] принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше


Вычисление площадей фигур в различных системах координат

[cbm]S(\Phi)= \int\limits_{a}^{b} \bigl(-f(x)\bigr)dx[/cbm] . Но [cbm]S(\Phi)=S(F).[/cbm]
Значит,
[cbm]S(F)= \int\limits_{a}^{b} \bigl(-f(x)\bigr)dx= -\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx\,.[/cbm]

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл [cbm]\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/cbm] дает значение площади криволинейной трапеции [cbm]F[/cbm] с точностью до знака. Если же функция [cbm]f[/cbm] меняет знак на отрезке [cbm][a;b][/cbm] в конечном числе точек, то значение интеграла [cbm]\int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx[/cbm] дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции [cbm]y=f(x)[/cbm] , отрезками оси [cbm]Ox[/cbm] и, быть может, отрезками, параллельными оси [cbm]Oy[/cbm] (рис. 32).


Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой [cbm]y=e^x[/cbm] , осью абсцисс и прямыми [cbm]x=1,~x=2[/cbm] (рис. 33).

Решение. Имеем: [cbm]S= \int\limits_{1}^{2} e^x\,dx= \Bigl.{e^x}\Bigr|_{1}^{2}= e^2-e= e(e-1)[/cbm] (кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы [cbm]y^2=4x[/cbm] и отрезком прямой [cbm]x=2[/cbm] (рис. 34).

Решение. Из рисунка видно, что трапеция, площадь которой нужно найти, расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно, искомая площадь равна

[cbm]S= 2\int_{0}^{2}2\sqrt{x}\,dx= \left.{\frac{4x^{3/2}}{3/2}}\right|_{0}^{2}= \frac{8}{3}\cdot 2^{3/2}= \frac{16}{3}\sqrt{2}\,.[/cbm]

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций [cbm]y^2=9x,~ y=3x[/cbm] (рис. 35).

Решение. Искомая площадь равна разности площадей криволинейного треугольника [cbm]OAB[/cbm] и прямоугольного треугольника [cbm]OAB:[/cbm]

[cbm]S= \int\limits_{0}^{1} \sqrt{9x}\,dx- \int\limits_{0}^{1} 3x\,dx= \left.{3\cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}}\right|_{0}^{1}- \left.{3\cdot \frac{x^2}{2} }\right|_{0}^{1}= 2-\frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,.[/cbm]

Вычисление площадей фигур в различных системах координат


Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой [cbm]a(y^2-x^2)+x^3=0[/cbm] .

Решение. Из уравнения кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси [cbm]Ox[/cbm] . Следовательно, можно сначала вычислить половину искомой площади (рис. 36). Рекомендуем читателю подробно исследовать и построить данную кривую.


Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Записав уравнение кривой в виде [cbm]y^2=\frac{x^2}{a}(a-x)[/cbm] , найдем точки пересечения ее с осью [cbm]Ox[/cbm] , положив [cbm]y=0\colon\, x_1=0,~ x_2=a[/cbm] . Учитывая сказанное, найдем площадь половины петли:

[cbm]\frac{1}{2}S= \frac{1}{\sqrt{a}} \int\limits_{0}^{a} x\sqrt{a-x}\,dx\,.[/cbm]

Воспользовавшись формулой из таблицы при [cbm]a=-1,~ b=a[/cbm] , получим:

[cbm]\int\limits_{0}^{a} x\sqrt{a-x}\,dx= \left.{\frac{2(-3x-2a)\sqrt{(a-x)^3}}{15}}\right|_{0}^{a}= \frac{4}{15}\,a^{5/2}\,.[/cbm]

Значит, окончательно имеем:

[cbm]\frac{1}{2}S= \frac{1}{\sqrt{a}}\cdot \frac{4}{15}\,a^{5/2}= \frac{4}{15}\,a^2\quad \Leftrightarrow\quad S=\frac{8}{15}\,a^2\,.[/cbm]

Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть кривая [cbm]y=f(x),~ f(x)\geqslant0,~ a\leqslant x\leqslant b[/cbm] задана в параметрической форме

[cbm]\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} \alpha \leqslant t\leqslant b\,,[/cbm]

где функция [cbm]x=\varphi(t)[/cbm] монотонна на отрезке [cbm][\alpha;\beta][/cbm] , причем [cbm]\varphi(\alpha)=a,[/cbm] [cbm]\varphi(\beta)=b[/cbm] , и имеет на этом отрезке непрерывную производную. Так как [cbm]y=f(x)= f\bigl(\varphi(t)\bigr)= \psi(t)[/cbm] , то по формуле замены переменной под знаком определенного интеграла получаем:

[cbm]S= \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx= \int\limits_{\alpha}^{\beta} f\bigl(\varphi(t)\bigr) \varphi'(t)\,dt= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t) \varphi'(t)\,dt\,.[/cbm]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

[cbm]S= \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi(t)\varphi'(t)\,dt\,.[/cbm]
(5)

Пример 5. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрически [cbm]\begin{cases} x=a\cos{t}\,,\\ y=b\sin{t}\,,\end{cases} 0\leqslant t\leqslant 2\pi\,.[/cbm]


Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Решение. Выберем ту часть эллипса (рис. 37), которая расположена в первом квадранте. Точке [cbm]A(a;0)[/cbm] соответствует значение [cbm]t=0[/cbm] , а точке [cbm]B(0;b)[/cbm] — значение [cbm]t=\frac{\pi}{2}[/cbm] . Поэтому

[cbm]\begin{aligned} S&= 4\int\limits_{0}^{a}y\,dx= -4\int\limits_{0}^{\pi/2}b\sin{t}\cdot(-a\sin{t})\,dt= 4ab\int\limits_{0}^{\pi/2} \sin^2t\,dt=\\ &= 2ab\int\limits_{0}^{\pi/2} \bigl(1-\cos2t\bigr)\,dt= \left.{2ab\!\left(t- \frac{1}{2}\sin2t \right)}\right|_{0}^{\pi/2}= \pi\,ab\,. \end{aligned}[/cbm]

Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Вычислить площадь сектора, ограниченного лучами [cbm]\ell[/cbm] и [cbm]m[/cbm] , выходящими из точки [cbm]O[/cbm] , и непрерывной кривой [cbm]\Gamma[/cbm] (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка [cbm]O[/cbm] . Пусть [cbm]\rho=\rho(\varphi)[/cbm] — полярное уравнение кривой [cbm]\Gamma[/cbm] , а [cbm]\varphi_0[/cbm] и [cbm]\Phi[/cbm] — углы между полярной осью и лучами [cbm]\ell[/cbm] и [cbm]m[/cbm] соответственно. При этом пусть функция [cbm]\rho(\varphi)[/cbm] непрерывна на [cbm][\varphi_0;\Phi][/cbm] .

Разобьем данный сектор на [cbm]n[/cbm] частей лучами

[cbm]\varphi_0< \varphi_1< \varphi_2< \ldots< \varphi_k< \varphi_{k+1}< \ldots< \varphi_n= \Phi[/cbm]

и рассмотрим k-й частичный сектор [cbm][\varphi_k; \varphi_{k+1}][/cbm] (рис. 39). Пусть [cbm]r_k[/cbm] — наименьшее значение функции [cbm]\rho(\varphi)[/cbm] в [cbm][\varphi_k; \varphi_{k+1}][/cbm] , a [cbm]R_k[/cbm] — наибольшее значение функции в этом отрезке.

Вычисление площадей фигур в различных системах координат

Построим два круговых сектора с радиусами [cbm]r_k[/cbm] и [cbm]R_k[/cbm] . Обозначим через [cbm]\Delta\varphi_k[/cbm] величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

[cbm]\frac{1}{2}\cdot r_k^2\cdot \Delta\varphi_k \leqslant S_k\leqslant \frac{1}{2}\cdot R_k^2\cdot \Delta\varphi_k\,.[/cbm]

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна [cbm]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k[/cbm] , а площадь внешней фигуры равна — [cbm]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k[/cbm] . Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу [cbm]s_P[/cbm] и [cbm]S_P[/cbm] для интеграла [cbm]\frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi[/cbm] . Так как функция [cbm]\rho(\varphi)[/cbm] непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция [cbm]\rho^2(\varphi)[/cbm] . Поэтому для любого [cbm]\varepsilon[/cbm] найдется такое разбиение [cbm]P[/cbm] отрезка [cbm][\varphi_0,\Phi][/cbm] , что [cbm]S_P-s_P<\varepsilon[/cbm] . Из теоремы 2 пункта 2 следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади [cbm]S[/cbm] выполняются неравенства


Вычисление площадей фигур в различных системах координат

[cbm]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k\leqslant S\leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k\,.[/cbm]
(6)

В то же время по определению определенного интеграла

[cbm]\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} r_k^2 \Delta\varphi_k\leqslant \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 \Delta\varphi_k\,.[/cbm]
(7)

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

[cbm]S= \frac{1}{2} \int\limits_{\varphi_0}^{\Phi} \rho^2(\varphi)\,d\varphi\,.[/cbm]
(8)

Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком розы [cbm]\rho=a\sin2\varphi[/cbm] (рис. 40).

Решение. Значениям [cbm]\varphi=0[/cbm] и [cbm]\varphi=\frac{\pi}{2}[/cbm] соответствует [cbm]\rho=0[/cbm] Поэтому

[cbm]S= \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{\pi/2} a^2\sin^22\varphi\,d\varphi= \frac{a^2}{2} \int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{1-\cos4\varphi}{2}\,d\varphi= \left.{\frac{a^2}{4}\! \left(\varphi- \frac{1}{4}\sin4\varphi\right)}\right|_{0}^{\pi/2}= \frac{a^2}{4}\cdot \frac{\pi}{2}= \frac{\pi}{2}\,a^2\,.[/cbm]

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: