Вычисление длин дуг кривых

Понятие спрямляемой кривой

В школьном курсе математики рассматривался вопрос о вычислении длин отрезков прямой, длины окружности, а также различных ее частей. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.

В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.

Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая [cbm]\Gamma:[/cbm]

[cbm]\begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} a\leqslant t\leqslant b.[/cbm]
(1)

Напомним, что функции [cbm]x=\varphi(t)[/cbm] и [cbm]y=\psi(t)[/cbm] непрерывны на отрезке. Разобьем отрезок [cbm][a;b][/cbm] на части числами

[cbm]t_0,t_1,\ldots,t_n\colon~ a=t_0< t_1<\ldots< t_n=b.[/cbm]

Каждому числу [cbm]t[/cbm] соответствует точка [cbm]M_k\bigl(\varphi(t_k),\psi(t_k)\bigr)[/cbm] кривой [cbm]\Gamma[/cbm] . Проводя отрезки [cbm]M_0,M_1,\ldots,M_{n-1},M_n[/cbm] , получим ломаную линию [cbm]\gamma[/cbm] , вписанную в кривую [cbm]\Gamma[/cbm] . Обозначим ее длину через [cbm]\ell(\gamma)[/cbm] .

Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество [cbm]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/cbm] длин вписанных в эту кривую ломаных у ограничено сверху. Точная верхняя граница множества [cbm]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/cbm] называется длиной кривой [cbm]\Gamma[/cbm] и обозначается [cbm]\ell(\Gamma):[/cbm]

[cbm]\ell(\Gamma)= \sup\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}.[/cbm]
(2)

Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.

Пусть жорданова кривая [cbm]\Gamma[/cbm] разбита на кривые [cbm]\Gamma_1[/cbm] и [cbm]\Gamma_2[/cbm] . Если эти кривые спрямляемы, то кривая [cbm]\Gamma[/cbm] спрямляема, причем [cbm]\ell(\Gamma)= \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)[/cbm] .

В самом деле, пусть [cbm]\gamma[/cbm] — любая ломаная, вписанная в кривую [cbm]\Gamma[/cbm] , и пусть [cbm]M[/cbm] —точка, разбивающая [cbm]\Gamma[/cbm] на [cbm]\Gamma_1[/cbm] и [cbm]\Gamma_2[/cbm] . Добавляя эту точку к вершинам ломаной [cbm]\gamma[/cbm] , получим ломаную [cbm]\gamma'[/cbm] , длина которой не меньше длины ломаной [cbm]\gamma,~ \ell(\gamma')\geqslant \ell(\gamma)[/cbm] . Но ломаная [cbm]\gamma'[/cbm] состоит из двух частей [cbm]\Gamma'_1[/cbm] и [cbm]\gamma'_2[/cbm] , вписанных соответственно в кривые [cbm]\Gamma_1[/cbm] и [cbm]\Gamma_2[/cbm] , причем [cbm]\ell(\gamma'_1)\leqslant \ell(\Gamma_1)[/cbm] и [cbm]\ell(\gamma'_2)\leqslant \ell(\Gamma_2)[/cbm] . Поэтому

[cbm]\ell(\gamma)\leqslant \ell(\gamma')= \ell(\gamma'_1)+ \ell(\gamma'_2)\leqslant \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2).[/cbm]

Это неравенство показывает, что число [cbm]\ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)[/cbm] является одной из верхних границ для множества [cbm]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/cbm] длин ломаных, вписанных в кривую [cbm]\Gamma[/cbm] . Но для любого [cbm]\varepsilon>0[/cbm] найдутся ломаные [cbm]\gamma_1[/cbm] и [cbm]\gamma_2[/cbm] , вписанные в [cbm]\Gamma_1[/cbm] и [cbm]\Gamma_2[/cbm] , такие, что

[cbm]\ell(\gamma_1)> \ell(\Gamma_1)- \frac{\varepsilon}{2}\,,\qquad \ell(\gamma_2)> \ell(\Gamma_2)- \frac{\varepsilon}{2}\,.[/cbm]

Объединяя [cbm]\gamma_1[/cbm] и [cbm]\gamma_2[/cbm] , получаем ломаную [cbm]\gamma[/cbm] , вписанную в [cbm]\Gamma[/cbm] и такую, что

[cbm]\ell(\gamma)> \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2)- \varepsilon\,.[/cbm]

А это и значит, что [cbm]\ell(\Gamma)= \ell(\Gamma_1)+ \ell(\Gamma_2).[/cbm] — точная верхняя граница множества {/ (y)}, т. е. ' (Г) = / (Гх) + / (Г2).


Достаточное условие спрямляемости кривой


Вычисление длин дуг кривых

Назовем жорданову кривую [cbm]\Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases}a\leqslant t\leqslant b[/cbm] , регулярной, если функции [cbm]\varphi[/cbm] и [cbm]\psi[/cbm] имеют на отрезке [cbm][a;b][/cbm] непрерывные производные. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Всякая регулярная жорданова кривая [cbm]\Gamma[/cbm] спрямляема.

Доказательство. Разобьем отрезок [cbm][a;b][/cbm] на части точками [cbm]a=t_0< t_1<\ldots<t_n=b[/cbm] и впишем в кривую [cbm]\Gamma[/cbm] ломаную, соответствующую этому разбиению. Рассмотрим одно звено [cbm]M_kM_{k+1}[/cbm] этой ломаной, [cbm]M_k\bigl(\varphi(t_k),\psi(t_k)\bigr),[/cbm] [cbm]M_{k+1}\bigl(\varphi(t_{k+1}), \psi(t_{k+1})\bigr),[/cbm] (рис. 49). Длина этого звена равна

[cbm]\ell_k=\bigl|M_kM_{k+1}\bigr|= \sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}= \sqrt{\bigl[\varphi(t_{k+1})-\varpgi(t_k)\bigr]^2+ \bigl[\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr]^2}\,.[/cbm]

Но по теореме Лагранжа найдутся такие [cbm]c_k[/cbm] и [cbm]c_{k}^{\ast}[/cbm] , что

[cbm]\begin{aligned}\varphi(t_{k+1})- \varphi(t_k)&= \varphi'(c_k)\cdot (t_{k+1}-t_k)= \varphi'(c_k)\cdot\Delta t_k\,,\\ \psi(t_{k+1})- \psi(t_k)&= \psi'(c_{k}^{\ast})\cdot (t_{k+1}-t_k)= \psi'(c_{k}^{\ast})\cdot\Delta t_k\,. \end{aligned}[/cbm]

и поэтому [cbm]\ell_k= \sqrt{\bigl(\varphi'(c_k)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr)^2}\cdot\Delta t_k[/cbm] .

Значит, длина всей ломаной [cbm]\ell_{\text{lom}}[/cbm] выражается формулой

[cbm]\ell_{\text{lom}}= \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\bigl(\varphi'(c_k)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr)^2}\cdot\Delta t_k\,.[/cbm]
(3)

По условию производные [cbm]\varphi'(t)[/cbm] и [cbm]\psi'(t)[/cbm] непрерывны на отрезке [cbm][a;b][/cbm] . Поэтому для [cbm]\bigl|\varphi'(t)\bigr|[/cbm] и [cbm]\bigl|\psi'(t)\bigr|[/cbm] на отрезке [cbm][a;b][/cbm] есть наибольшие значения. Обозначим их [cbm]A[/cbm] и [cbm]B:[/cbm]

[cbm]A=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\bigl|\varphi'(t)\bigr|,\qquad B=\max_{a\leqslant t\leqslant b}\bigl|\psi'(t)\bigr|.[/cbm]

Но тогда [cbm]\bigl|\varphi'(c_k)\bigr|\leqslant A,~ \bigl|\psi'(c_{k}^{\ast})\bigr|\leqslant B[/cbm] , а потому в силу (3)

[cbm]\ell_{\text{lom}}\leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{A^2+B^2}\Delta t_k= \sqrt{A^2+B^2} \sum_{k=0}^{n-1}\Delta t_k\,.[/cbm]

Поскольку [cbm]\sum_{k=0}^{n-1}\Delta t_k=b-a[/cbm] , то для всех ломаных, вписанных в кривую [cbm]\Gamma[/cbm] ,

[cbm]\ell_{\text{lom}}\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot (b-a).[/cbm]
(4)

Поэтому кривая [cbm]\Gamma[/cbm] спрямляема.

Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:

[cbm]\ell_{\text{lom}}\geqslant \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot (b-a).[/cbm]
(5)

где [cbm]\alpha[/cbm] и [cbm]\beta[/cbm] — наименьшие значения для [cbm]\bigl|\varphi'(t) \bigr|[/cbm] и [cbm]\bigl|\psi'(t)\bigr|[/cbm] на отрезке [cbm][a;b][/cbm] .

Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой [cbm]\ell_{\text{kr}}:[/cbm]

[cbm]\ell_{\text{kr}}\leqslant \sqrt{A^2+B^2}\cdot (b-a),[/cbm]
(6)
[cbm]\ell_{\text{kr}}\geqslant \sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot (b-a).[/cbm]
(7)

Неравенство (7) следует из неравенства (5) и из того, что [cbm]\ell_{\text{kr}}\geqslant \ell_{\text{lom}}[/cbm] . Чтобы доказать неравенство (6), заметим, что в силу неравенства (4) [cbm]\sqrt{A^2+B^2}(b-a)[/cbm] является одной из верхних границ для длин вписанных в [cbm]\Gamma[/cbm] ломаных, число же [cbm]\ell_{\text{kr}}[/cbm] — точная верхняя граница для этих длин, т. е. наименьшая из верхних границ. Отсюда и следует неравенство (6).


Необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой

Данное ранее условие спрямляемости кривой является достаточным, но не необходимым (например, любая ломаная спрямляема, но не регулярна, так как имеет точки излома). Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие спрямляемости кривой, нам понадобится понятие: функция с ограниченным изменением.

Рассмотрим функцию [cbm]y=f(x)[/cbm] , определенную на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , и произвольное разбиение [cbm]P[/cbm] этого отрезка:

[cbm]a=x_0<x_1< x_2<\ldots<x_n=b.[/cbm]

Для каждого частичного промежутка [cbm][x_k;x_{k+1}][/cbm] разбиения [cbm]P[/cbm] образуем разность [cbm]\bigl(f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr)[/cbm] — приращение функции на этом промежутке. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Заменим все эти разности их модулями и сложим их. Получим сумму

[cbm]V_{a,p}^{b}(f)= \sum_{k=0}^{n=1}\bigl|f(x_{k+1})-f(x_k)\bigr|.[/cbm]

Полученная сумма называется изменением функции [cbm]y=f(x)[/cbm] , соответствующим разбиению [cbm]P[/cbm] отрезка [cbm][a;b][/cbm] .

Рассмотрим множество [cbm]\bigl\{V_{a,p}^{b}(f)\bigr\}[/cbm] изменений функции [cbm]y=f(x),~ a \leqslant x \leqslant b[/cbm] , соответствующих всевозможным разбиениям отрезка [cbm][a;b][/cbm] . Если это множество ограничено сверху, то говорят, что функция [cbm]y=f(x)[/cbm] имеет ограниченное изменение на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , а точную верхнюю границу этого множества называют изменением функции [cbm]t=f(x)[/cbm] на отрезке [cbm][a;b][/cbm] и обозначают [cbm]V_{a}^{b}(f)[/cbm] . Таким образом,

[cbm]V_{a}^{b}(f)= \sup_{P}\bigl\{V_{a,p}^{b}(f)\bigr\}.[/cbm]

Теперь мы можем сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие спрямляемости жордановой кривой.


Теорема 3. Для того чтобы жорданова кривая [cbm]\Gamma\colon \begin{cases}x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} a \leqslant t \leqslant b[/cbm] спрямляемой, необходимой достаточно, чтобы непрерывные функции [cbm]x=\varphi(t)[/cbm] и [cbm]y=\psi(t)[/cbm] имели ограниченное изменение на отрезке [cbm][a;b][/cbm] .


Вычисление длин дуг кривых

Доказательство. Покажем сначала, что ограниченность изменения функций [cbm]x=\varphi(t)[/cbm] и [cbm]y=\psi(t)[/cbm] на отрезке [cbm][a;b][/cbm] является необходимым условием спрямляемости кривой [cbm]\Gamma[/cbm] . В самом деле, если кривая [cbm]\Gamma[/cbm] спрямляема, то множество [cbm]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/cbm] длин вписанных в нее ломаных ограничено сверху некоторым числом [cbm]M[/cbm] . Это означает, что для любой вписанной в [cbm]\Gamma[/cbm] ломаной имеем:

[cbm]\ell(\gamma)= \sum_{k=0}^{n-1} \ell_k\leqslant M.[/cbm]

Но из рисунка 54 видно, что [cbm]\ell_k \geqslant |x_{k+1}-x_k|[/cbm] и [cbm]\ell_k \geqslant |y_{k+1}-y_k|[/cbm] , а потому

[cbm]\ell(\gamma) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr|,\qquad \ell(\gamma) \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|y_{k+1}-y_k\bigr|.[/cbm]

Эти неравенства можно переписать следующим образом:

[cbm]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr| \leqslant \ell(\gamma) \leqslant M,\qquad \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr| \leqslant \ell(\gamma) \leqslant M.[/cbm]

Они показывают, что для любого разбиения [cbm]P[/cbm] отрезка [cbm][a;b][/cbm] имеем [cbm]V_{a,P}^{b}(\varphi) \leqslant M[/cbm] и [cbm]V_{a,P}^{b}(\psi) \leqslant M[/cbm] , т. е. функции [cbm]x=\varphi(t)[/cbm] и [cbm]y=\psi(t)[/cbm] имеют ограниченное изменение на отрезке [cbm][a;b][/cbm] .

Теперь докажем, что если функции [cbm]x=\varphi(t)[/cbm] и [cbm]y=\psi(t)[/cbm] имеют ограниченное изменение на отрезке [cbm][a;b][/cbm] , то кривая [cbm]\Gamma[/cbm] спрямляема на этом отрезке. В самом деле, в этом случае существует такое число [cbm]M[/cbm] , что

[cbm]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\varphi(t_{k+1})-\varphi(t_k)\bigr| \leqslant M,\qquad \sum_{k=0}^{n-1} \bigl|\psi(t_{k+1})-\psi(t_k)\bigr| \leqslant M.[/cbm]

Иными словами, [cbm]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|x_{k+1}-x_k\bigr| \leqslant M[/cbm] и [cbm]\sum_{k=0}^{n-1} \bigl|y_{k+1}-y_k\bigr| \leqslant M[/cbm] . Но из рисунка 54 видно, что

[cbm]\ell_k \leqslant \bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|+ \bigl|y_{k+1}-y_{k}\bigr|.[/cbm]

Поэтому для любой ломаной [cbm]\gamma[/cbm] , вписанной в кривую [cbm]\Gamma[/cbm] , имеем:

[cbm]\ell(\gamma)= \sum_{k=0}^{n-1}\ell_{k} \leqslant \sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\bigl|x_{k+1}-x_{k}\bigr|+ \bigl|y_{k+1}-y_{k}\bigr|\Bigr) \leqslant 2M.[/cbm]

Значит, множество [cbm]\bigl\{\ell(\gamma)\bigr\}[/cbm] ограничено сверху числом [cbm]2M[/cbm] , и потому кривая [cbm]\Gamma[/cbm] спрямляема.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: