Параболоиды

Определение параболоида

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [cbm]Oxyz[/cbm] каноническим уравнением

[cbm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2\cdot z.[/cbm]
(4.51)

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат [cbm]Oxyz[/cbm] каноническим уравнением

[cbm]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2\cdot z.[/cbm]
(4.52)

В уравнениях (4.51) и (4.52) [cbm]a[/cbm] и [cbm]b[/cbm] — положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида [cbm]a\geqslant b[/cbm] .

Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов ((4.50) или (4.51)).


Плоские сечения эллиптического параболоида

Плоскость [cbm]Oxz[/cbm] пересекает эллиптический параболоид (4.51) по линии, имеющей в этой плоскости уравнение [cbm]\frac{x^2}{a^2}=2z[/cbm] , которое равносильно уравнению [cbm]x^2=2pz[/cbm] параболы с фокальным параметром [cbm]p=a^2[/cbm] . Сечение параболоида плоскостью [cbm]Oyz[/cbm] получаем, подставляя [cbm]x=0[/cbm] в уравнение (4.51): [cbm]\frac{y^2}{b^2}=2z[/cbm] . Это уравнение равносильно уравнению [cbm]y^2=2qz[/cbm] параболы с фокальным параметром [cbm]q=b^2[/cbm] . Эти сечения называются главными параболами эллиптического параболоида (4.51).

Рассмотрим теперь сечение эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости [cbm]Oxy[/cbm] . Подставляя [cbm]z=h[/cbm] , где [cbm]h[/cbm] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.51), получаем

[cbm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2\cdot h.[/cbm]

При [cbm]h<0[/cbm] уравнение не имеет действительных решений, т.е. плоскость [cbm]z=h[/cbm] при [cbm]h<0[/cbm] не пересекает параболоид (4.51). При [cbm]h=0[/cbm] уравнению (4.51) удовлетворяет одна вещественная точка [cbm]O[/cbm] — вершина параболоида. При [cbm]h>0[/cbm] уравнение определяет эллипс [cbm]\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/cbm] с полуосями [cbm]a'=a\sqrt{2h},[/cbm] [cbm]b'=b\sqrt{2h}[/cbm] . Следовательно, сечение эллиптического параболоида плоскостью [cbm]z=h[/cbm] (при [cbm]h>0[/cbm] ) представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных параболах.

Таким образом, эллиптический параболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.46,а).

Параболоиды


Параболоид вращения

Эллиптический параболоид, у которого [cbm]a=b[/cbm] , называется параболоидом вращения. Такой параболоид является поверхностью вращения. Сечения параболоида вращения плоскостями [cbm]z=h[/cbm] (при [cbm]h>0[/cbm] ), представляют собой окружности с центрами на оси аппликат (рис.4.46,б). Его можно получить, вращая вокруг оси [cbm]Oz[/cbm] параболу [cbm]y^2=2qz[/cbm] , где [cbm]q=a^2=b^2[/cbm] .

Плоские сечения гиперболического параболоида

Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями [cbm]Oxz[/cbm] и [cbm]Oyz[/cbm] представляют собой параболы (главные параболы) [cbm]x^2=2pz[/cbm] или [cbm]y^2=-2qz[/cbm] с параметрами [cbm]p=a^2[/cbm] или [cbm]q=b^2[/cbm] соответственно. Поскольку оси симметрии главных парабол направлены в противоположные стороны, гиперболический параболоид называют седловой поверхностью.

Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости [cbm]Oxy[/cbm] . Подставляя [cbm]z=h[/cbm] , где [cbm]h[/cbm] — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.52), получаем [cbm]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2h[/cbm] При [cbm]h>0[/cbm] уравнение равносильно уравнению гиперболы [cbm]\frac{x^2}{(a')^2}-\frac{y^2}{(b')^2}=1[/cbm] полуосями [cbm]a'=a\sqrt{2h},[/cbm] [cbm]b'=b\sqrt{2h}[/cbm] , то есть сечение гиперболического параболоида плоскостью [cbm]z=h[/cbm] при [cbm]h>0[/cbm] представляет собой гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе [cbm]x^2=2pz[/cbm] . При [cbm]h<0[/cbm] получаем уравнение сопряженной гиперболы [cbm]-\frac{x^2}{(a')^2}+\frac{y^2}{(b')^2}=1[/cbm] с полуосями [cbm]a'=a\sqrt{-2h},[/cbm] [cbm]b'=b\sqrt{-2h}[/cbm] , т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью [cbm]z=h[/cbm] при [cbm]h<0[/cbm] представляет собой сопряженную гиперболу с центром на оси аппликат, вершины которой лежат на главной параболе [cbm]y^2=-2qh[/cbm] . При [cbm]h=0[/cbm] получаем уравнение пересекающихся прямых [cbm]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0[/cbm] , т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью [cbm]z=0[/cbm] представляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых.

Таким образом, гиперболический параболоид можно представить как поверхность, образованную гиперболами (включая и "крест" из их асимптот), вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.47,а).

Сечение параболоида плоскостью [cbm]x=h[/cbm] , где [cbm]h[/cbm] — произвольная постоянная, представляет собой параболу

[cbm]\frac{h^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2\cdot z \quad \Leftrightarrow \quad y^2=-2\cdot q\cdot\!\left(z-\frac{h^2}{2\cdot a^2}\right)\!.[/cbm]

равную главной параболе [cbm]y^2=-2qz[/cbm] с параметром [cbm]q=b^2[/cbm] , вершина которой лежит на другой главной параболе [cbm]x^2=2pz[/cbm] с параметром [cbm]p=a^2[/cbm] . Поэтому гиперболический параболоид можно представить как поверхность, получающуюся при перемещении одной главной параболы так, чтобы ее вершина "скользила" по другой главной параболе (рис.4.47,б).

Параболоиды


Замечания 4.11.

1. Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (рис.4.47,в).

2. Ось аппликат канонической системы координат является осью симметрии параболоида, а координатные плоскости [cbm]Oyz,~Oxz[/cbm] — плоскостями симметрии параболоида.

В самом деле, если точка [cbm]M(x,y,z)[/cbm] принадлежит параболоиду (эллиптическому или гиперболическому), то точки с координатами [cbm](\pm x,\pm y,\pm z)[/cbm] при любом выборе знаков также принадлежат параболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.51) или (4.52) соответственно. Поэтому параболоид симметричен относительно координатных плоскостей [cbm]Oyz,[/cbm] [cbm]Oxz[/cbm] и координатной оси [cbm]Oz[/cbm] .

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: