Основные формулы тригонометрии
Тригонометрические выражения — это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:
- Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
- Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
- Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
- Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)
Существует два способа решения тригонометрических уравнений:
Первый способ - с использованием формул.
| \( \displaystyle A \) | \( \displaystyle a \) | \( \displaystyle -1 \) | \( \displaystyle 0 \) | \( \displaystyle 1 \) |
| \( \displaystyle \sin x=A \) | \( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n \) | \( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \) | \( \displaystyle \pi n \) | \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \) |
| \( \displaystyle \cos x=A \) | \( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \) | \( \displaystyle \pi +2\pi n \) | \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \) | \( \displaystyle 2\pi n \) |
| \( \displaystyle tgx=A \) | \( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \) | \( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \) | \( \displaystyle \pi n \) | \( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \) |
| \( \displaystyle ctgx=A \) | \( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \) | \( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \) | \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \) | \( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \) |
Второй способ - через тригонометрическую окружность.
Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.
Основные формулы Тригонометрии:
Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
\[ \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 \]
Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
\[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]
Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
\[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]
Синус суммы и разности:
\[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]
Косинус суммы и разности:
\[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]
Тангенс суммы и разности:
\[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]
Формулы понижения степени:
Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.
\[ \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} \]
\[ \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} \]
\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]
\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]
\[ \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \]
\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]
\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]
Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:
\[ \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \]
\[ \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa \]
\[ \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } \]
\[ \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } \]
Формулы преобразования суммы функций
Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.
\[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]
\[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]
\[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]
\[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]
\[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]
Формулы преобразования произведений функций
\[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]
\[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]
\[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]