Пример 1

Задача

Объем конуса равен 64 см3. Через середину высоты этого конуса параллельно его основанию проведена плоскость. Полученное сечение является основанием меньшего конуса, вершина которого совпадает с вершиной заданного. Найти объем меньшего конуса.

Решение

Объем конуса можно вычислить по формуле \( V=\dfrac{1}{3}\pi R^2 H \)

Плоскость, проведенная через середину высоты конуса и параллельно его основанию, является в двумерном пространстве средней линией равнобедренного треугольника (конус проецируется в равнобедренный треугольник). Таким образом получается два подобных треугольника с коэффициентом подобия 2.

\( V_1=64 \) — объем большего конуса, \( H_1=2H_2, \) где \( H_1 \) — высота большого, а \( H_2 \) — меньшего конуса (из условия), \( R_1=2R_2, \) где \( R_1 \) — радиус основания большего, а \( R_2 \) — радиус основания меньшего конуса (из подобия треугольников).

Тогда \( V_2=\dfrac{1}{3}\pi R_2^2 H_2=\dfrac{1}{3}\pi (\dfrac{R_1}{2})^2\cdot \dfrac{H_1}{2}=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{3}\pi R_1^2 H_1=\dfrac{1}{8}V_1=\dfrac{64}{8}=8 \)

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Интересные статьи: