Дифференциальное уравнение Бернулли

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

\[ \frac{dy}{dx}+p(x)y = q(x)y^{n} \]

где n≠0,n≠1, а \(p(x)\) и \(q(x)\) — заданные функции от \(x\), непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение.

Целая степень может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того, может быть обыкновенной дробью, например

\[ y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y} \]

Если \(q(x)\equiv0\), то уравнение называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

\[ y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\! \]

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения ищется в виде

\[ y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) \]

где \( C(x) \) — новая неизвестная функция от \(x\)

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

\[z = {y^{1 - n}}\]

в линейное уравнение

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: