12-й. Движение с постоянным ускорением

      § 12-й. Движение с постоянным ускорением

При равноускоренном движении справедливы следующие уравнения, которые мы приводим без вывода:

s

Как вы понимаете, векторная формула слева и две скалярные формулы справа равноправны. С точки зрения алгебры, скалярные формулы означают, что при равноускоренном движении проекции перемещения зависят от времени по квадратичному закону. Сравните это с характером проекций мгновенной скорости (см. § 12-з).

Зная, что  sx = x – xo  и   sy = y – yo (см. § 12-е), из двух скалярных формул из правой верхней колонки получим уравнения для координат:

       
  x  =  xo + υox t  + ½ ax t²  
 
    и    
  y  =  yo + υoy t  + ½ ay t²  
 
       

Поскольку ускорение при равноускоренном движении тела постоянно, то координатные оси всегда можно расположить так, чтобы вектор ускорения был направлен параллельно одной оси, например оси Y. Следовательно, уравнение движения вдоль оси X заметно упростится:

x  =  xo + υox t  + ( 0 )       и       y  =  yo + υoy t  + ½ ay t²

Обратите внимание, что левое уравнение совпадает с уравнением равномерного прямолинейного движения (см. § 12-ж). Это означает, что равноускоренное движение может «складываться» из равномерного движения вдоль одной оси и равноускоренного движения вдоль другой. Подтверждением этому служит опыт с ядром на яхте (см. § 12-б).

Задача. Вытянув руки, девочка подбросила шар. Он поднялся на 80 cм и вскоре упал к ногам девочки, пролетев 180 cм. С какой скоростью шар был подброшен и какую скорость шар имел при ударе о землю?

Рекомендация. Для решения задач, в которых не дано время и не просят его найти, очень удобно применять не содержащую время формулу для квадрата проекции мгновенной скорости. Выведем эту формулу.

Возведём в квадрат обе части уравнения для проекции на ось Y мгновенной скорости: υy  =  υoy + ay t  (см. § 12-и). Получим равенство:

υy²  =  ( υoy + ay t )²  =  υoy² + 2 υoy ay t + ay² t²

Вынесем за скобки множитель  2 ay только для двух правых слагаемых:

υy²  =  υoy² + 2 ay ( υoy t + ½ ay t² )

Заметим, что в скобках получилась формула для вычисления проекции перемещения:  sy = υoy t + ½ ay t².  Заменяя её на sy, получим:

 
  υy²  =  υoy²  + 2 ay sy  
 
 

Решение. Сделаем чертёж: ось Y направим вверх, а начало координат поместим на земле у ног девочки. Применим выведенную нами формулу для квадрата проекции скорости сначала в верхней точке подъёма шара:

Поясняющий рисунок-чертёж к задаче

0 = υoy² + 2·(–g)·(+h)     ⇒     υoy = ±√¯2gh = +4 м/с

Затем при начале движения из верхней точки вниз:

υy² = 0 + 2·(–g)·(–H)     ⇒     υy = ±√¯2gh = –6 м/с

Ответ: шар был брошен вверх со скоростью 4 м/с, а в момент приземления имел скорость 6 м/с, направленную против оси Y.

Примечание. Надеемся, вы понимаете, что формула для квадрата проекции мгновенной скорости будет верна по аналогии и для оси X:

 
  υx²  =  υox²  + 2 ax sx  
 
 

Если движение одномерное, то есть происходит только вдоль одной оси, можно пользоваться любой из двух формул в рамках.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: